Тригонометричен полином

Шаблон:Без източници Тригонометричен полином е израз от вида

$P(t)=\sum _{n=-N}^N{a}_n{e}^{int}.$

Числата $a_n\in ℂ$ се наричат коефициенти на полинома $P(t)$, а най-голямото n, такова че $|a_n|+|a_{-n}|\ne 0$ се нарича степен на полинома. Индексът n е целочислен, за да може функцията $e^{int},n\in \mathbb{Z}$ да бъде интегруема в интервала $𝕋=[0,2\pi )$. Тогава изразът $P(t)$ дефинира функция, която е абсолютно интегруема и принадлежи на $L^1(𝕋)$.

Друг начин за записване на полинома е като преобразуваме сбора по формулата на Ойлер:

$P(t)=\sum _{n=-N}^N{a}_n\cos (nt)+\mathrm{i}\sum _{n=-N}^N{a}_n\sin (nt)(t\in 𝐑).$

Ако е известна функцията $P(t)$, коефициентите на полинома $a_n$ могат да се пресметнат по формулата

$a_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{𝕋}P(t)e^{-int}dt$,

понеже интегралът ${\int }_{𝕋}{e}^{int}dt$ е ненулев само ако $n=0$.

Тригонометричните полиноми са частен случай на редове на Фурие.

Тригонометричен полином от степен n може да има най-много n корена в интервала $[0,2\pi )$.

Теорема на Вайерщрас за тригонометричните полиноми

Частен случай на теоремата на Вайерщрас е твърдението, че тригонометричните полиноми са навсякъде гъсти в пространството на непрекъснатите функции $C(𝕋)$ с норма $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{t\in 𝕋}{max}|f(t)|$.

Конволюция

Конволюцията на тригонометричен полином $P(t)$ с функция $f\in L^1(𝕋)$ се използва често в хармоничния анализ. Тя се изразява с формулата:

$P(t)=\sum _{n=-N}^N{a}_n{e}^{int}(P\ast f)(t)=\sum _{n=-N}^N{a}_n\hat{f}(n)e^{int}.$

Приложения

Ядрата на Дирихле, Поасон, Фейер, Вале-Пусен и други редици от тригонометрични полиноми се използват за да се апроксимира реда на Фурие на f с определена точност.