Ядро на Поасон

Шаблон:Без източници Ядрото на Поасон е сумиращо ядро, което се използва в хармоничния анализ. Задава се с формулата

$P_r(t)=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{r}^{|j|}{e}^{ijt}$,

където 0 < r < 1. Може да се представи и в следния вид

$P_r(t)=1+2\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^j\cos (jt)$

или

$P_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t+r^2}=Re\left(\frac{1+r{e}^{it}}{1-r{e}^{it}}\right).$

Ядрото на Поасон не е редица от тригонометрични полиноми, но в замяна на това P(r,t) е намаляваща функция на t за $0<t<\pi$.

Поради равномерната сходимост на реда, с който се задава P(r,t), имаме следното равенство

$(P_r\ast f)(t)=\sum _n\hat{f}(n)r^{|n|}{e}^{int}$

ядрото на Поасон се използва като връзка между теорията на тригонометричните редове и теорията на аналитичните функции.

Приложение в комплексния анализ

Много важно свойство на ядрото на Поасон, което се използва в комплексния анализ е, че интегралът на Поасон на $P_r$ дава решение на задачата на Дирихле за единичния кръг. Задачата на Дирихле търси решения на уравнението на Лаплас в единичния кръг с гранично условие на Дирихле.

Нека $D=\{z:|z|<1\}$ е единичния кръг в C. Ако f е непрекъсната функция $\partial D\mapsto ℝ$, то функцията u зададена с

$u(r{e}^{i\theta })=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{P}_r(\theta -t)f(e^{it})dt$

е хармонична в D и е равна на f по единичната окръжност.