Ядро на Дирихле

Шаблон:Без източници В хармоничния анализ, ядрото на Дирихле е редица от функции D_N(t), зададена по следния начин

$D_N(x)=\sum _{n=-N}^N{e}^{int}=1+2\sum _{n=1}^N\cos (nt)=\frac{\sin \left((N+\frac{1}{2})t\right)}{\sin (t/2)}.$

Носи името на Йохан Петер Густав Лежон Дирихле.

Ядрото на Дирихле играе важна роля в изучаването на редовете на Фурие. Конволюцията на D_N с $f\in L^1(𝕋)$ дава приближение от степен N на реда на Фурие на f, т.е.

$(D_n\ast f)(t)=\sum _{n=-N}^N\hat{f}(n)e^{int},$

където

$\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-int}dt$

е n-тия коефициент на Фурие на f. От горното следва, че за да се изследват сходимостта на реда на Фурие, е достатъчно да се изследват свойствата на ядрото на Дирихле. Особено важно свойство е, че нормата на D_n в L¹ клони към безкрайност, когато $n\to \mathrm{\infty }$. Оценката е

$\Vert D_n{\Vert }_{L^1}\approx \log n$

Липсата на сумируемост в този случай води до интересни явления при редовете на Фурие. Може да се докаже например, че редът на Фурие на непрекъсната функция е разходящ в дадена точка.

Забележка

Ядрото на Дирихле не е сумиращо ядро.