Средноаритметична стойност

Средноаритметично на $n$ числа $x_1,x_2,...x_n$ е сборът им, разделен на броя им, т. е. $\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$.

Равнозначно се използват понятията „средноаритметично число“, „средноаритметична стойност“, „средноаритметична оценка“, „средноаритметично претеглено“, „средноаритметично тегло“.

Примери

• Ако има три числа, събират се и се дели сбора на 3: $\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$.
• Ако има четири числа, събират се и се дели сбора на 4: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}$.
• Ако има пет числа, събират се и се дели сбора на 5: $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$.
• Ако месечният доход на $10$ души е $2640,2956,3400,738,482,480,475,472,470,467$, тогава средноаритметичното е:

$\frac{2640+2956+3400+738+482+480+477+472+470+467}{10}=1258.$

Общи сведения

Средноаритметичното е една от най-широко използваните числови характеристики за средна стойност. Предложено е още от питагорейците (заедно със средногеометричното и среднохармоничното). То се пресмята лесно и в повечето случаи е приемлива мярка за средната стойност на съвкупност от числови данни. В изключителни случаи обаче е възможно средноаритметичното да даде напълно неадекватна представа за стойностите в дадено числово множество. Това става, когато някои числа в множеството са екстремални (т. е. много големи или много малки). Съществуват статистически методи за откриване на екстремални стойности. Препоръчително е средноаритметичното да бъде изчислявано след премахване на екстремалните стойности; така то става много по-надеждна мярка за средна стойност. Алтернативата е да се използва някоя друга мярка, която е нечувствителна към екстремални стойности, например средномедианното число.

Специални случаи на средноаритметичната стойност са средна стойност на генералната съвкупност и средна стойност на извадката (извадките).

В случай, че броят на елементите на набора от числа на стационарен случаен процес е безкраен, математическото очакване на случайна променлива играе ролята на средно аритметично.

Средноаритметичната стойност се използва основно в математиката и статистиката. Прилага се и в икономиката, антропологията, историята и почти всяка академична област до известна степен. Например доходът на глава от населението е средният аритметичен доход на населението на една нация.

Освен средноаритметичното съществуват и други мерки за средна стойност: средногеометрично, средно аритметико-геометрично, среднохармонично, средностепенно, средноквадратично, средномедианна стойност, медиана, мода, и др.

Характеристика

Нека обозначим набора от числа X = (x₁, x₂, …, x_n) – тогава средната стойност на извадка от него обикновено се обозначава с хоризонтална черта над променливата ($\overline{x}$, произнася се „$x$ с черта“ ).

Средноаритметичното на целия набор от числа обикновено се означава с гръцката буква μ. За случайна променлива, за която е определена средната стойност, μ е средната вероятност или математическото очакване на случайната величина. Ако множеството X е съвкупност от произволни числа със средна вероятност μ, тогава за всяка извадка x_i от тази съвкупност μ = E{xi} е математическото очакване на тази извадка.

На практика разликата между μ и $\overline{x}$ е, че μ е типична променлива, защото може да се види извадката, а не цялата съвкупност. Затова, ако извадката е представена на случаен принцип (от гледна точка на теорията на вероятностите), тогава $\overline{x}$ (но не μ) може да се третира като случайна променлива, която има разпределение на вероятностите на извадката (вероятностно разпределение на средната стойност).

И двете величини се изчисляват по един и същ начин:

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n).$

Ако X е случайна променлива, тогава математическото очакване на X може да се разглежда като средно аритметично на стойностите при многократни измервания на X. Това е проявление на закона за големите числа. Следователно средната стойност на извадката се използва за оценка на неизвестното математическо очакване.

В елементарната алгебра се доказва, че средната стойност на $n$ + 1 числа е по-голяма от средната стойност на $n$ числа тогава и само тогава, когато новото число е по-голямо от старото средно; по-малка – тогава и само тогава, когато новото число е по-малко от старото средно; и равна на нея, ако и само ако новото число е средното. Колкото по-голямо е $n$, толкова по-малка е разликата между новата и старата средна стойност.

Непрекъсната случайна променлива

Ако има интеграл от някаква функция $f(x)$ на една променлива, тогава средноаритметичното на тази функция в отрязъка $[a;b]$ се намира чрез определен интеграл:

${\overline{f(x)}}_{[a;b]}=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

Тук за определяне на интервала $[a;b]$ се предполага, че $b\ge a,$ като $b\ne a,$ за да не е равен на 0 знаменателят.

Свойства

Средноаритметичната стойност има няколко свойства, които я правят интересна, особено като мярка за централна тенденция. Те включват:

• Ако числата $x_1,\dots ,x_n$ имат средноаритметично $\overline{x}$, тогава $(x_1-\overline{x})+\cdots +(x_n-\overline{x})=0$. Тъй като $x_i-\overline{x}$ е разстоянието от дадено число до средната стойност, един от начините да се интерпретира това свойство е като се каже, че числата вляво от средната стойност са балансирани от числа вдясно. Средната стойност е единственото число, за което сумата на остатъците (отклоненията от оценката) е нула. Това също може да се тълкува като че средната стойност е транслационно инвариантна в смисъл, че за всяко реално число $a$, $\overline{x+a}=\overline{x}+a$.
• Ако се изисква да се използва едно число като „типична“ стойност за набор от известни числа $x_1,\dots ,x_n$, тогава средноаритметичното на числата прави това най-добре, тъй като минимизира сумата на средноквадратичните отклонения от типичната стойност: сумата от $(x_i-\overline{x}{)}^2$. Средната стойност на извадката също е най-добрият единичен показател (предиктор), тъй като има най-ниската средноквадратичнна грешка.
• Средната аритметичната стойност е независима от мащаба на мерните единици, в смисъл че $\text{avg}(c{a}_1,\cdots ,c{a}_n)=c\cdot \text{avg}(a_1,\cdots ,a_n).$ Така, например, изчисляването на средна стойност на литри и след това преобразуване в галони е същото като първо преобразуване в галони и след това изчисляване на средната стойност. Това също се нарича хомогенност от първи ред и означава, че средноаритметичното е еднородна функция.
• Средната аритметична стойност на дадена извадка винаги е между най-голямата и най-малката стойност в тази извадка.
• Средната аритметична стойност на произволно количество групи с еднакви по размер числа заедно е средната аритметична стойност на средните аритметични стойности на всяка група.

Някои проблеми при използването на средната стойност

• Липса на робастност /устойчивост/ – при големи отклонения на пиковите стойности от средната, например среден доход ли тегло: за извадката (1, 2, 3, 2, 9, 2) средната аритметична стойност е 3,166, но пет от шестте стойности са под тази средна стойност.
• Сложeн процент (виж Възвръщаемост на инвестициите)
• Направления и цикличност на променливите. Например, ъглови градуси и радиани: средната посока на 1° и 359° не е средноаритметичната стойност 180°, а 0°. За да съвпадат те, трябва в такива случаи, когато всички променливи са само в I квадрант (0°÷90°) и IV квадрант (270°÷360°), т. е. с дисперсия около оста 0°, за променливите от IV квадрант да се използват отрицателни градуси в обратен ред на I квадрант: 270°÷360° = –90°÷0°. Ако променливите са само във II квадрант (90°÷180°) и III квадрант (180°÷270°), т. е. с дисперсия около оста 180°, трябва да се използват положителни градуси. Ако променливите са в 3 или 4 квадранта, за променливите от III и IV квадрант може да се използват отрицателни градуси в обратен ред на I и II квадрант: 270°÷360° = –180°÷0°. Но посоката ±180° остава нееднозначна и при сумирането ѝ с променливи с различни знаци се получават различни резултати за средноаритметичното, които определят с различна грешка вярната средна посока, ако е избрано +180° или –180°. Например, за извадката (20°, ±180°, –140°=220°):
  

(20°+180°–140°):3=20° /при +180°/; (20°–180°–140°):3=–100°=260° /при –180°/;
(20°+180°+220°):3=140° /при положителни градуси/.

Действителната средна посока, определена с геометрично сумиране, е 113,33°. Най-близък до нея е резултатът, получен при използване само на положителни градуси.

При преобладаващи променливи в I и IV квадрант спрямо II и III по-точен резултат дава използването на положителни и отрицателни градуси.

Пример: за група от 11 променливи $x_i$, ($i$=1÷11)

(20°, 40°, 60°, 80°, 280°=–80°, 300°=–60°, 320°=–40°, 340°=–20°, 100°, 200°=–160°, ±180°)
се получава:

${\overline{x}}_{180}=\frac{1}{11}(180+\sum _{i=1}^{10}{x}_i)=\frac{1}{11}(180-60)=10,9$

${\overline{x}}_{-180}=\frac{1}{11}(-180+\sum _{i=1}^{10}{x}_i)=\frac{1}{11}(-180-60)=-21,8$

${\overline{x}}_{+}=\frac{1}{11}(180+\sum _{i=1}^{10}{x}_i)=\frac{1}{11}(180-60)=174,5$

Очевидно е, че от първите осем стойности средната посока е ${\overline{x}}_8$=0° поради симетрията. От останалите три е ${\overline{x}}_3$=(100+200+180):3=160°. Това е еквивалентно на група от 11 елемента, от които 8 са 0° и 3 са 160°. За балансирана извадка с по 3 елемента от двата вида
${\overline{x}}_6$ = (0+160):2=80°. Така се получава нова група от 11 елемента: 6 от 80° и останалите от предишната 5 от 0°. За балансирана извадка с по 5 елемента от двата вида ${\overline{x}}_5$ = (0+80):2=40°. Това трансформира групата от 11 елемента до 10 нови елемента от 40° и останалия 1 от 0°, на които средноаритметичното е (10х40+0):11=36,36°. Това е действителната средна посока за първоначалната група, намерена посредством поетапна трансформация на елементите ѝ само чрез усредняването им с използване на средноаритметичните им стойности. Очевидно е, че най-малко се различава от нея първата еднократно усреднена стойност, използваща положителни и отрицателни градуси и величина +180°.

Средната посока на симетричните спрямо центъра не може да бъде определена точно и еднозначно като средноаритметична, а в някои случаи дори и като медиана и остава неопределена:

• на 0° и 180° може да е ±90°;
• на 0°(360°), 120° и 240° не е средноаритметичната 120°(240°);
• на 0°(360°), 90°, 180° и 360° не е средноаритметичната 157,5°(222,5°) и др.