Средностепенна стойност

Средностепенна стойност (СС) или средностепенно е вид средна стойност на набор от числа в математиката, която се получава чрез повдигане на всички числа на степен $s$, намиране на средноаритметичната стойност на тези $s$-ти степени и взимане на $s$-ия корен от тази средна стойност. Тя обобщава средните стойности, известни от питагорейците като архимедови средни: аритметична, геометрична, квадратична и хармонична, чрез въвеждане на параметъра $s$. Затова в чуждоезичната литература се нарича още средно обобщено и генерализирано средно. Във връзка с неравенствата на Хьолдер и Минковски средностепенното също има имената средно на Хьолдер (Ото Хьолдер, 1859 – 1937) и средно на Минковски (Херман Минковски, 1864 – 1909).

Обозначава се с различни символи: $C_s(x),A_d(x),H_p(x),M_p(x),m_p(x),{\mu }_p(x)$ и др.

Средностепенното е частен случай на средното квазиаритметично, известно още като „средно на Колмогоров“ (Шаблон:Lang).

Разновидност на средностепенното е претегленото средностепенно.

Графика на няколко средностепенни $C_s(1,x)=C_p(1,x)$

Определение

Ако $x_1,x_2,\dots ,x_n$ е набор от положителни реални числа и $s$ е ненулево реално число, тогава средностепенната стойност с показател $s$ на набора от числа е:

$C_s(x_1,\dots ,x_n)=\sqrt[S]{\frac{x_1^s+x_2^s+\dots +x_n^s}{n}}=\sqrt[S]{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^s}{n}}={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^s\right)}^{1/s}.$

Ако числата от набора $x_i$ са умножени с поредица от положителни тегла $w_i$, се дефинира понятието средностепенно претеглено: $$C{W}_s(w_1{x}_1,w_2{x}_2,\dots ,w_n{x}_n)=\sqrt[S]{\frac{x_1^s+x_2^s+\dots +x_n^s}{w_1+w_2+\dots +w_n}}=\sqrt[S]{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^s}{\sum _{i=1}^n{w}_i}}={\left(\frac{\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i^s}{\sum _{i=1}^n{w}_i}\right)}^{1/s}$$

Частни случаи

Визуално изображение на някои от посочените случаи за Шаблон:Math с
Шаблон:Math и Шаблон:Math: Шаблон:Legend Шаблон:Legend Шаблон:Legend Шаблон:Legend

Шаблон:Br Средностепенните стойности за $s=0,\pm 1,2$ и $\pm \mathrm{\infty }$ имат свои собствени имена:

• $C_1(x_1,\dots ,x_n)=CA=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$ се нарича средно аритметично;
  

(с други думи: средноаритметичното на $n$ числа е тяхната сума, разделена на $n$)

• $C_0(x_1,\dots ,x_n)=\underset{s\to 0}{lim}{C}_s(x_1,\dots ,x_n)=CG=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$ е средно геометрично;
  

(с други думи: средното геометрично на $n$ числа е $n$-ия корен от произведението на тези числа)

• $C_{-1}(x_1,\dots ,x_n)=CX=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$ се нарича средно хармонично.
  

(с други думи: средната хармонична стойност на числата е реципрочната на средната аритметична на техните реципрочни стойности)

• $C_2(x_1,\dots ,x_n)=CK=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$ се нарича средноквадратично, известно също със съкращението RMS (Шаблон:Lang).
  

В статистическата практика се използват и средностепенни от трети и по-високи редове. Най-често срещаните от тях са средните кубични и средните биквадратични стойности:

• $C_3(x_1,\dots ,x_n)=CQ=\sqrt[3]{\frac{x_1^3+x_2^3+\cdots +x_n^3}{n}}$ се нарича среднокубично
• $C_4(x_1,\dots ,x_n)=CBK=\sqrt[4]{\frac{x_1^4+x_2^4+\cdots +x_n^4}{n}}$ се нарича среднобиквадратично

Минималното и максималното число от набор от положителни числа се изразяват като средните степени $-\mathrm{\infty }$ и $+\mathrm{\infty }$ на тези числа:

$\min \{x_1,\dots ,x_n\}=C_{-\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{s\to -\mathrm{\infty }}{lim}{C}_s(x_1,\dots ,x_n);$

$\max \{x_1,\dots ,x_n\}=C_{+\mathrm{\infty }}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{C}_s(x_1,\dots ,x_n).$

Свойства

За редицата от положителни реални числа $x_1,x_2,\dots ,x_n$ са валидни следните свойства:

• Всяко средностепенно винаги се намира между най-малката и най-голямата стойност на $x$:

$min(x_1,\dots ,x_n)\le C_s(x_1,\dots ,x_n)\le max(x_1,\dots ,x_n)$.

• Всяка средностепенна стойност е симетрична функция на своите аргументи; пермутирането на аргументите на средностепенното не променя неговата стойност:

$C_s(x_1,\dots ,x_n)=C_s(P(x_1,\dots ,x_n))$, където $P$ е пермутационен оператор.

• Като повечето средства, средностепенната стойност е хомогенна функция на своите аргументи $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Тоест, ако $b$ е положително реално число, тогава средностепенна стойност с показател $s$ на числата $b\cdot x_1,b\cdot x_1,\dots ,b\cdot x_n$ е равна на $b$ пъти средностепенното на числата $x_1,x_2,\dots ,x_n$:

$C_s(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=b.C_s(x_1,\dots ,x_n).$

• Подобно на квазиаритметичните средни стойности, изчисляването на средностепенната стойност може да бъде разделено на изчисления на еднакви по размер подблокове. Това позволява използването на алгоритъм „разделяй и владей“ за изчисляване на средните стойности, когато е желателно:

$C_s(x_1,\dots ,x_{n\cdot k})=C_s[C_s(x_1,\dots ,x_k),C_s(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,C_s(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})]$.

Геометрично доказателство без думи, че при а=MN и b=MP:
max(a,b) > средно квадратично (QM) > средно аритметично (AM) >
средно геометрично (GM) >
средно хармонично (HM) > min(a,b) за две различни положителни числа a и b

Обобщено неравенство на средните

Като цяло, ако $s<q$, тогава

$C_s(x_1,\dots ,x_n)\le C_q(x_1,\dots ,x_n)$

и двете средни са равни тогава и само тогава ако Шаблон:Math.

Неравенството е вярно за реални стойности на $s$ и $q$, както и за положителни и отрицателни стойности за безкрайност. То следва от факта, че за всички реални $s$,

$\frac{\partial }{\partial s}{C}_s(x_1,\dots ,x_n)\ge 0,$

което може да се докаже с помощта на неравенството на Йенсен.

По-специално, за $s$ в {−1, 0, 1}, средностепенното предполага неравенството на Питагоровите средни (Шаблон:Lang), както и неравенството на средните аритметични и геометрични:

$C_{-\mathrm{\infty }}(x_i)\le C_{-1}(x_i)\le C_1(x_i)\le C_2(x_i)\le C_3(x_i)\le C_4(x_i)\le C_{\mathrm{\infty }}(x_i)$, $i=1,\dots ,n$, или

$min(x_1,\dots ,x_n)\le {\overline{x}}_{\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{m}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{k}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{v}}\le max(x_1,\dots ,x_n).$