Синусова теорема

Синусовата теорема в тригонометрията изразява пропорционалната зависимост между дължините на страните на триъгълник в равнината и синусите на ъглите срещу тях. Шаблон:Multiple image Ако страните на триъгълника са означени с $a,b$ и $c$, а ъглите срещу тях с $A,B$ и $C$, тогава синусовата теорема гласи:

За всеки триъгълник отношението на коя да е страна и синуса на срещулежащия ъгъл е равно на диаметъра на описаната около триъгълника окръжност:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=d$,

където $R$ e радиусът на описаната окръжност, а $d$ е нейният диаметър (фиг. 1). Този резултат датира от Птолемей.

Теоремата има и обикновен вариант без използване на описаната окръжност, когато последната част от уравнението не се записва (фиг. 2):

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на срещулежащите ъгли:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$,

а понякога законът се изразява и с реципрочните стойности:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$.

Тези формули се използват, за да се намерят неизвестните страни на триъгълника, ако се знаят 2 ъгъла и третата страна, което е основна задача при триангулацията. Може да се използват и ако са известни две от страните и един от ъглите, но не този сключен между тях. Тогава уравненията ще дадат 2 решения за сключения ъгъл между известните страни: остър и тъп ъгъл, сумата от които е 180°, тъй като за всеки ъгъл $\alpha$ важи равенството $\sin \alpha =\sin (180^{\circ }-\alpha )$.

По синусовата теорема може да се определи и радиусът на описаната окръжност около триъгълника, ако се знаят една от страните му и ъгълът срещу нея:

$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}$.

При остроъгълен и тъпоъгълен триъгълник диаметърът на описаната окръжност е по-голям от всяка от страните му, а при правоъгълен триъгълник е равен на хипотенузата.

Диаметърът на описаната окръжност може да се определи и чрез Хероновата формула за лице на триъгълника (фиг. 3):

Фиг. 3. Синусова теорема и лице $S$ на триъгълника

$d=\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ или

$d=\frac{2abc}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}}$,

където $p=\frac{(a+b+c)}{2}$ е полупериметърът на триъгълника.

Доказателство

Нека е даден триъгълник със страни $a,b$ и $c$ и срещулежащи ъгли $A,B$ и $C$ (фиг. 4). От върха $C$ се спуска перпендикуляр към страната $c$ и се обозначава с $h$. Така се получават 2 правоъгълни триъгълника. За тях са верни равенствата:

Фиг. 4. Доказателство на синусова теорема.

$\sin A=\frac{h}{b}$ и $\sin B=\frac{h}{a}$.

Следователно

$h=b\sin A=a\sin B$

и

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$.

Същото се получава и ако се спусне перпендикуляр от върха $A$ към страната $a$

$\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

и от върха $B$ към страната $b$

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}$.

От свързването на последните три равенства се формулира синусовата теорема.

Сферична синусова теорема

Шаблон:Раздел-мъниче Сферичната синусова теорема има същата формулировка и се отнася за сферичен триъгълник.

Вижте също

• Триъгълник
• Тригонометрична функция
• Триангулация
• Косинусова теорема
• Тангенсова теорема
• Котангенсова теорема