Косинусова теорема

Шаблон:Без източници Косинусовата теорема в геометрията гласи:

Квадратът на коя да е страна в триъгълник е равен на сбора от квадратите на другите две страни минус удвоеното произведение на тези две страни и косинуса на ъгъла, заключен между тях.

Разглежда се триъгълник $ABC$ със страни $AB=c$, $BC=a$ и $CA=b$ (фиг. 1).

Фиг. 1. Косинусова теорема.

Тогава е в сила равенството

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Тук, с $\gamma$ се означава ъгълът, заключен между $a$ и $b$. За страните $b$ и $c$ косинусовата теорема изглежда така:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

Оттук лесно могат да се изразят и косинусите на дадените ъгли:

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

Когато един от ъглите на триъгълник е прав, косинусовата теорема се свежда до Питагоровата теорема.

Доказателства

Доказателство с Питагорова теорема

Нека да разгледаме триъгълника $ABC$. От върха $C$ към страната $AB$ е спусната височината $CD$ (фиг. 2). От триъгълника $ADC$ следва:

Фиг. 2. Доказателство на косинусовата теорема.

$AD=b\cos \alpha$,

$DB=c-b\cos \alpha$

Питагоровата теорема за двата триъгълника $ADC$ и $BDC$ се записва във вида

$\{\begin{array}{c}{h}^2=b^2-(b\cos \alpha {)}^2\\ h^2=a^2-(c-b\cos \alpha {)}^2\end{array}$.

Очевидно, десните части на двете уравнения са равни, т.е.

$b^2-(b\cos \alpha {)}^2=a^2-(c-b\cos \alpha {)}^2$.

След опростяване се получава

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$.

Доказателство с вектори

Въвеждат се базисните вектори $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b}$.

Нека $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}$. По правилото за изваждане на вектори се получава:

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

След повдигане на квадрат се достига до равенството ${\overrightarrow{c}}^2={\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2-2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

От формулата за скаларно произведение на два вектора става ясно, че $\Vert \overrightarrow{c}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{a}{\Vert }^2+{\Vert \overrightarrow{b}\Vert }^2-2\cdot \Vert \overrightarrow{a}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos \mathrm{\angle }(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

С това теоремата е доказана.

Вижте също

• Триъгълник
• Тригонометрична функция
• Триангулация
• Синусова теорема
• Тангенсова теорема
• Котангенсова теорема