Сумиращо ядро

Шаблон:Без източници Сумиращо ядро в $𝕋$ е редица $\{k_n:n\in \mathbb{Z}\}$ от непрекъснати функции $k_n$ в $𝕋$, които изпълняват следните условия.

• $\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{k}_n(t)dt=1$ (1)
• $\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|k_n(t)|dt\le const$ (2)
• за всяко $0<\delta <\pi$ е изпълнено

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\delta }{\overset{2\pi -\delta }{\int }}|k_n(t)|dt=0$. (3)

Положително сумиращо ядро е ядро, за което функциите са положителни, т.е.$k_n(t)>0$ за всяко t, n. За тях условието (2) е излишно.

Основно свойство на сумиращото ядро

Нека f бъде функция от $L^1(𝕋)$, а $\{k_n\}$ бъде сумиращо ядро. Тогава

$f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{k}_n\ast f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{k}_n(\tau )f(t-\tau )d\tau$

Сходимостта е в нормата на $L^1(𝕋)$.

Примери за сумиращо ядро

• Ядро на Фейер
• Ядро на Вале-Пусен
• Ядро на Поасон

Забележка

Ядрото на Дирихле не е сумиращо ядро, понеже не удовлетворява условията (2) и (3).