Топлинен шум

Топлинен шум или термичен шум (наричан още шум на Джонсън – Найкуист, Джонсънов шум или Найкуистов шум) е вид електронен шум, образуван от топлинното възбуждане на носителите на заряд (обикновено електрони) във вътрешността на електрически проводник в равновесие, което се случва независимо от това дали е приложено напрежение и води до възникване на потенциална разлика в краищата на проводника. В общия случай горната дефиниция засяга носители на електромагнитна енергия в среда от произволен тип (например йони в електролит, електромагнитна вълна в полупроводник или диелектрик), не само проводници с активно електрическо съпротивление (в частност резистори).

Фиг. 1. Експериментът на Джонсън от 1927 г. показа, че ако топлинният шум от съпротивление $\text{R}$ с температура $\text{T}$ е ограничен до честотната лента $\mathrm{\Delta }f$, тогава неговото средноквадратично напрежение $u_{\text{rms}}$ е $\sqrt{4k_{\text{B}}TR\mathrm{\Delta }f}$, където $k_{\text{B}}$ е константата на Болцман.

Термичният шум, произтичащ от активното съпротивление се нарича резистивен шум, а определения от капацитивното съпротивление – капацитивен шум.

Топлинният шум е приблизително бял шум, което означава че спектралната плътност на мощността е почти еднаква в целия честотен спектър. Допълнително амплитудата на сигнала има функция с почти Гаусова плътност на вероятността.

Топлинният шум присъства във всички електрически вериги, а в чувствителното електронно оборудване (като радиоприемниците) може да заглуши слабите сигнали и да бъде ограничаващ фактор за чувствителността на електрическите измервателни уреди. Термичният шум е пропорционален на абсолютната температура, така че някои чувствителни електронни устройства, като например приемниците на радиотелескопи, се охлаждат до криогенни температури, за да се подобри съотношението сигнал/шум. Общото, статистическо физическо извеждане на този шум се нарича теорема за флуктуация-дисипация, където обобщеният импеданс или обобщената възприемчивост се използват за характеризиране на средата.

Термичният шум е различен от статичния шум, който се състои от допълнителни флуктуации на тока, които съществуват, когато е приложено напрежение и започва да протича макроскопичен ток.

Фиг. 2. Топлинният шум има почти постоянна Шаблон:Nowrap спектрална плътност на мощността на единица честота, но намалява до нула поради квантови ефекти при високи честоти (терахерц за стайна температура). Хоризонталната ос на тази графика използва логаритмична скала, така че всяка вертикална линия съответства на 10-а степен на честотата.

История

Този тип шум е бил измерен първо от Джон Бертранд Джонсън в лабораториите „Бел“ през 1928 г. Той описал своите открития на Хари Найкуист, също от „Бел“, които могъл да обясни резултатите.

Напрежение и мощност на шума

Топлинният резистивен шум може да бъде представен като източник на напрежение, представляващ шума на неидеален резистор, свързан успоредно с идеален безшумен резистор.

Спектралната плътност на шумовата мощност $\overline{p_n}$ или дисперсията на квадрата на шумовото напрежение $\overline{u_n^2}$ на херц от честотния диапазон се определя от израза

$\overline{p_n}=\overline{u_n^2}=4k_{B}TR\left[\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{H}\mathrm{z}}\right]$,

а спектралната плътност на шумовото напрежение e

$\overline{u_n}=\sqrt{4k_{B}TR}\left[\frac{\mathrm{V}}{\sqrt{\mathrm{H}\mathrm{z}}}\right],$

където $k=1,38\cdot 10^{-23}\mathrm{J}/\mathrm{K}$ е константа на Болцман в джаула на келвин, T е абсолютната температура на резистора в келвини, а R е съпротивлението на резистора в омове (Ω).

Например за резистор 1 kΩ при стайна температура 300 K се получава

$\overline{u_n}=\sqrt{4\cdot 1,38\cdot 10^{-23}\mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot 300\mathrm{K}\cdot 1000\mathrm{\Omega }}=4,07\mathrm{n}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{H}\mathrm{z}}$.

За бързи изчисления се използва формулата

$\overline{u_n}=0,13\sqrt{R}\left[\frac{\mathrm{n}\mathrm{V}}{\sqrt{\mathrm{H}\mathrm{z}}}\right].$

За определен честотен диапазон ефективната (средноквадратичната) стойност на напрежението $u_n$ се дава чрез израза

$u_n=\sqrt{\overline{u_n^2}}\sqrt{\mathrm{\Delta }f}=\sqrt{4k_{B}TR\mathrm{\Delta }f}$,

където Δf е честотният диапазон (в херци), в който е измерван шумът. За резистор 1 kΩ при стайна температура и честотен диапазон от 10 kHz, ефективното напрежение на шума е 400 nV. Практично правило за запаметяване е, че 50 Ω в 1 Hz честотна лента отговарят на 1 nV шум при стайна температура.

Резистор, свързан на късо във верига, отделя шум с мощност:

$P=u_n^2/R=4k_{B}T\mathrm{\Delta }f.$

Шумът, генериран от резистора, може да премине в останалата част на веригата. Максимално пренасяне на шума става при допасване на импеданса, когато еквивалентното съпротивление на Тевенин за останалата част от веригата е равно на съпротивлението, генериращо шум. В този случай всяко едно от двете участващи съпротивления разсейва шум в себе си и в другото съпротивление. Тъй като върху всяко от тези съпротивления пада само половината от напрежението на източника, получената мощност на шума се определя от ${\left(\frac{u_n}{2}\right)}^2$ и от горната формула след съкращаване се получава

$P=k_{B}T\mathrm{\Delta }f$,

където P е мощността на топлинния шум във ватове, като това е независимо от съпротивлението, генериращо шум.

Шум в децибели

Мощността на сигнала е често измервана в dBm (децибел в отношение към 1 миливат, приемайки товара за 50 ома). За горното уравнение мощността на шума в съпротивлението при стайна температура в dBm, е

$P_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}=10\lg (1000k_{B}T\mathrm{\Delta }f)$,

където има коефициент 1000, защото мощността е дадена в миливатове вместо във ватове. Това уравнение може да бъде опростено чрез разделянето на константната част от честотната лента:

$P_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}=10\lg (1000k_{B}T)+10\lg (\mathrm{\Delta }f)$,

което опростено се среща обикновено във вида

$P_{\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m}}=-174+10\lg (\mathrm{\Delta }f)$

Така е лесно да бъде сметната мощността на шума в различните честотни ленти:

Честотна лента	Мощност	Забележки
1 Hz	−174 dBm
10 Hz	−164 dBm
1000 Hz	−144 dBm
10 kHz	−134 dBm	FM канал на приемо-предавател
1 MHz	−114 dBm
2 MHz	−111 dBm	Канал на комерсиалния GPS
6 MHz	−106 dBm	Канал на аналоговата телевизия
20 MHz	−101 dBm	Канал на WLAN 802.11

Действителното количество топлинен шум, прието от радиоприемник с входно съпротивление 50 Ω, свързан към антена със съпротивление на излъчване 50 Ω, ще бъде определено от параметъра коефициент на шума Шаблон:Math или Шаблон:Math (Шаблон:Lang) както следва:

$P_{\mathrm{S}\mathrm{P}}[dB]=P_{\mathrm{S}\mathrm{R}}[dB]+10\lg (10^{NF/10}-1)$

или

$P_{\mathrm{S}\mathrm{P}}=P_{\mathrm{S}\mathrm{R}}(F_n-1).$

Тук P_SP е шумовата мощност, генерирана в самия приемник; P_SR – мощността на топлинния шум на резистор от таблицата по-горе. В първата формула коефициентът на шума Шаблон:Math е в dB, а във втората е заменен с неговата линейна версия фактор на шума Шаблон:Math или $F_n=10^{NF/10}$, който е безразмерна величина. От фактора на шума се изважда единица, понеже $F_n=1$ за идеален приемник, който не вкарва шум в сигнала. Факторът на шум е дефиниран по този начин, понеже в лабораторията е измерван чрез свързване на резистор към входа на приемника и сравнение на изходния шум с това, което някой би очаквал, ако просто шумът на резистора е усилен с коефициента на усилване на приемника. Отношение, равно на 1 между измерения изходен шум в числителя и коефициента на усилване, умножен по топлинния шум на резистора в знаменателя, означава, че приемникът не е добавил собствен шум към входния сигнал.

Излъчвателното съпротивление на антената не превръща мощността в топлина, така че не е източник на термичен шум. То разсейва мощност във вид на електромагнитно излъчване. Така че ако входящото излъчване към антената е от абсолютно черно тяло при температура еднаква с тази на антената, тогава то ще внесе шум по същия начин, по който би внесло излъчвателното съпротивление, което е съгласно с нулевия закон на термодинамиката, приложен спрямо обкръжаващата среда, антената и електромагнитното излъчване. В подземна пещера или мина антената би била обкръжена от земя, която е непропусклива за излъчването, и така излъчвателното съпротивление би водило до топлинен шум.

По същия начин товарният импеданс на входа на приемника не е директно отговорен за приет шум. В такъв случай е наистина възможно и дори е обичайно за един приемник да има фактор на шума по малък от 2 (или коефициент на шума по малък от 3 dB, което е равнозначно).

Например при канал с широчина 6 MHz, какъвто е телевизионният канал, приетият сигнал ще се конкурира от малкото количество енергия генерирано от стайната температура във входния блок на приемника, който за телевизионен приемник с коефициент на шума 3 dB ще е −106 dBm, или една четиридесета от пиковат. За телевизор с коефициент на шума 1 dB, мощността на шума ще бъде −112 dBm. Действителният източник на този шум е комбинация от топлинен шум в съществуващите съпротивления на кабелите и полупроводниците, топлинен шум в други внасящи загуби устройства като трансформаторите, както и статичен шум.

Честотната лента на канала е съставена от два честотни интервала от двете страни на основната работна честота. Например, честотна лента 6 MHz може да е между 54 и 60 MHz (отговаряща на телевизионен канал 2) или между 470 MHz и 476 MHz (отговаряща на телевизионен канал 14). При по-високите основни честоти съответно и ширината на честотната лента е по-голяма. Например, основната честота на канала за сигнала WIFI е 2450 MHz, а широчината на честотната лента е 20 MHz.

Твърде възможно е да може да се детектира сигнал, чиято амплитуда е по-малка от шума, съдържащ се в неговата честотна лента. Глобалната система за позициониране (GPS) и системата ГЛОНАСС имат амплитуда на сигнала, която е по-малка от приетия шум в типичен приемник на ниво на Земята. В случая на GPS, приетият сигнал има мощност −133 dBm. Най-новата серия спътници имат по-мощен излъчвател. За постигането на тази стойност GPS използва техниките на широколентовия спектър, докато някои други комуникационни системи използват кодиране с контрол на грешките. Все пак съществува фундаментална граница за възможността за разпознаване на значението на сигнала сред шума, дадена чрез теоремата на Шанон – Хартлей.

Шум на тока

Източникът на шум може да бъде моделиран и чрез източник на ток, свързан успоредно с резистор, използвайки еквивалентна схема на Нортън, при което е необходимо само да се раздели на R. Това дава средноквадратичната (ефективна) стойност на тока от източника

$i_n=\sqrt{\frac{4k_{B}T\mathrm{\Delta }f}{R}}.$

Термичният шум е присъщ на всички резистори и не е признак на лошо проектиране или производство, въпреки че резисторите могат също да имат и наднормален шум.

Топлинен шум на кондензатори

Топлинният шум на кондензаторите се нарича капацитивен шум или kTC шум. Термичният шум в RC верига има обикновено опростено изразяване, тъй като стойността на съпротивлението (R) отпада от уравнението. Това е така, понеже голямо съпротивление води до повече филтриране, но и до повече шум. Честотната лента на RC верига е $\frac{1}{4RC}$, което може да се постави в горната формула за премахването на R. Тогава средноквадратичното напрежение $u_n$ на шума, генериран в такъв филтър, може да се намери от неговия квадрат:

$\overline{u_n^2}=k_{B}T/C,$

$u_n=\sqrt{k_{B}T/C}.$

Топлинният шум се смята за 100 % капацитивен шум, все едно дали е обясняван чрез съпротивлението или чрез капацитета.

В изключителния случай на шум при изключване, оставащ на кондензатора при идеалното прекъсване на веригата, съпротивлението е безкрайно, но формулата все още действа; в този случай средноквадратичната стойност трябва да се интерпретира не като средна стойност във времето, а като средна стойност на много такива прекъсвания на веригата, тъй като напрежението е постоянно при нулева честотна лента. В този смисъл топлинният шум на RC верига може да бъде разглеждан като присъщ ефект на термодинамичното разпределение на броя електрони в кондензатора, дори без участието на резистор.

Шумът не произлиза от самия кондензатор, а от термодинамичното равновесие на количеството заряд в кондензатора. След като кондензаторът е изключен от токовата верига, термодинамичната флуктуация бива замразена в произволна стойност със стандартно отклонение както по-горе.

Шумът при изключване на кондензаторните сензори често бива ограничителен източник на шум, например при сензор за изображение (фотоматрица, светочувствителна матрица). Бивайки разновидност на шум от напрежението, шумът на изключване на кондензатора също може да бъде измерван, тъй като стандартното отклонение на електрическия заряд е

$Q_n=\sqrt{k_{B}TC}.$

Понеже дисперсията на заряда е $k_{B}TC$, този шум често е наричан kTC шум.

Всяка система в топлинно равновесие притежава величини на състоянието със средна енергия kT/2 на степен на свобода. Използвайки формулата за енергия на кондензатор (E = ½CU²), средната енергия на шума на кондензатора може да бъде разглеждана като ½C(kT/C), или като kT/2. Термичният шум на кондензатор може да бъде изведен от тази зависимост без участието на съпротивление.

Шумът kTC е доминиращ източник на шум при малките кондензатори.

Шум на кондензатори при 300 K

Капацитет	$\sqrt{k_{B}T/C}$	Електрона
1 fF	2 mV	12,5 e–
10 fF	640 µV	40 e–
100 fF	200 µV	125 e–
1 pF	64 µV	400 e–
10 pF	20 µV	1250 e–
100 pF	6,4 µV	4000 e–
1 nF	2 µV	12500 e–

Шум при много високи честоти

Горните уравнения са добри приближения за всяка радиочестота, която се използва (например честоти под 80 гигахерца). В по-общия случай, който включва и оптичните честоти, спектралната плътност на мощността на напрежението върху резистора R, във V²/Hz е дадено чрез формулата

$\overline{p_n}(f)=\overline{u_n^2}=\frac{2Rhf}{e^{\frac{hf}{k_{B}T}}-1}$

където f е честотата, h – константа на Планк, k_B – константа на Болцман и T – температурата в келвини.
Ако честотата е достатъчно ниска, тоест $f\ll \frac{k_{B}T}{h}$, (това условие е валидно до няколко терахерца в стайна температура) тогава експонентата може да се изрази чрез ред на Тейлър и формулата става

$\overline{u_n^2}(f)\approx 2R{k}_{B}T$.

Обикновено R и T зависят от честотата. За да се изчисли целият шум, е достатъчно да се интегрира по цялата честотна лента. Тъй като сигналът е реален, може да се интегрира само по положителните честоти, след което да се умножи по 2. Приемайки че R и T са постоянни в целия честотен диапазон $\mathrm{\Delta }f$, ефективната стойност на напрежението върху резистора поради топлинния шум се дава чрез израза

$u_n=\sqrt{4k_{B}TR\mathrm{\Delta }f}$,

тоест същата формула както по-горе.