Дисперсия (оптика)

Дисперсия на светлинен лъч, преминаващ през призма

В оптиката, а също и в акустиката дисперсията е физично явление, при което фазовата скорост на вълната зависи от нейната честота^[1]. Например при преминаването на светлинен сноп границата между две среди дисперсията се проявява чрез разлагането му на спектрални компоненти с различна дължина на вълната (за видимия спектър – различен цвят), поради зависимостта на показателя на пречупване от дължината на вълната. Дисперсията най-често се свързва със светлинни вълни, но може да се наблюдава при всички видове вълни.

Дисперсията на светлината е наблюдавана за първи път от английския физик Исак Нютон.

Обща формулировка на високите порядъци на дисперсия – Лах-Лагер оптика

Описанието на хроматичната дисперсия използващо пертурбативен подход чрез коефициентите на Тейлър е подходящо за оптимизационни проблеми, при които дисперсията от няколко различни системи трябва да бъде балансирана. Например, при лазерните усилватели, импулсите първо се удължават във времето, за да се избегнат оптични повреди на кристалите. След това, в процеса на усилване на енергията, импулсите натрупват неизбежно линейна и нелинейна фаза, преминавайки през различни материали. И накрая, импулсите се компресират в различни видове компресори. За да се нулират всички остатъчни по-високи порядъци в натрупаната фаза, обикновено отделните порядъци на дисперсия се измерват и балансират. За еднородни системи подобно пертурбативно описание често не е необходимо (например при разпространение на импулси във вълноводи или оптични влакна). Дисперсионните порядъци се свеждат до аналитични уравнения , които са идентични с преобразувания от типа на Лах-Лагер. ^[2] ^[3]

Дисперсионните порядъци се дефинират чрез развитие в ред на Тейлър на фазата или вълновия вектор.

$\begin{matrix} φ (ω) = φ |_{ω_{0}} + {\frac{\partial φ}{\partial ω} |}_{ω_{0}} (ω - ω_{0}) + \frac{1}{2} {\frac{\partial^{2} φ}{\partial ω^{2}} |}_{ω_{0}} {(ω - ω_{0})}^{2} + \dots + \frac{1}{p!} {\frac{\partial^{p} φ}{\partial ω^{p}} |}_{ω_{0}} {(ω - ω_{0})}^{p} + \dots \end{matrix}$

$\begin{matrix} k (ω) = k |_{ω_{0}} + {\frac{\partial k}{\partial ω} |}_{ω_{0}} (ω - ω_{0}) + \frac{1}{2} {\frac{\partial^{2} k}{\partial ω^{2}} |}_{ω_{0}} {(ω - ω_{0})}^{2} + \dots + \frac{1}{p!} {\frac{\partial^{p} k}{\partial ω^{p}} |}_{ω_{0}} {(ω - ω_{0})}^{p} + \dots \end{matrix}$

Дисперсионните производни за вълновия вектор $k (ω) = \frac{ω}{c} n (ω)$ и фазата $φ (ω) = \frac{ω}{c} 𝑂 𝑃 (ω)$ могат да се изразят като:

$\begin{matrix} \frac{\partial^{p}}{\partial ω^{p}} k (ω) = \frac{1}{c} (p \frac{\partial^{p - 1}}{\partial ω^{p - 1}} n (ω) + ω \frac{\partial^{p}}{\partial ω^{p}} n (ω)) \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{\partial^{p}}{\partial ω^{p}} φ (ω) = \frac{1}{c} (p \frac{\partial^{p - 1}}{\partial ω^{p - 1}} 𝑂 𝑃 (ω) + ω \frac{\partial^{p}}{\partial ω^{p}} 𝑂 𝑃 (ω)) \end{matrix} (1)$

Производните на всяка диференцируема функция $f (ω | λ)$ изразена като функция на дължината на вълната или честототата се определя чрез преобразувание на Лах, като:

$\begin{matrix} \frac{\partial p}{\partial ω^{p}} f (ω) = {(- 1)}^{p} {(\frac{λ}{2 π c})}^{p} \sum_{m = 0}^{p} 𝒜 (p, m) λ^{m} \frac{\partial^{m}}{\partial λ^{m}} f (λ) \end{matrix}$ $,$ $\begin{matrix} \frac{\partial^{p}}{\partial λ^{p}} f (λ) = {(- 1)}^{p} {(\frac{ω}{2 π c})}^{p} \sum_{m = 0}^{p} 𝒜 (p, m) ω^{m} \frac{\partial^{m}}{\partial ω^{m}} f (ω) \end{matrix} (2)$

Матричните елементи на трансформацията са коефициентите на Лах: $𝒜 (p, m) = \frac{p!}{(p - m)! m!} \frac{(p - 1)!}{(m - 1)!}$

Написани за дисперсията на груповата скорост GDD горният израз гласи, че константна с дължина на вълната GGD, ще има нулеви по-високи порядъци. По-високите порядъци, получени от GDD, са:

$\begin{matrix} \frac{\partial^{p}}{\partial ω^{p}} G D D (ω) = {(- 1)}^{p} {(\frac{λ}{2 π c})}^{p} \sum_{m = 0}^{p} 𝒜 (p, m) λ^{m} \frac{\partial^{m}}{\partial λ^{m}} G D D (λ) \end{matrix}$

Замествайки уравнение (2), изразено за индекса на пречупване $n$ или оптичния път $O P$ в уравнение (1), води до аналитични изрази за порядъците на дисперсия. Като цяло $p$ -ти порядък на дисперсия POD е преобразуване от тип на Лагер от ред минус две:

$P O D = \frac{d^{p} φ (ω)}{d ω^{p}} = (- 1)^{p} (\frac{λ}{2 π c})^{(p - 1)} \sum_{m = 0}^{p} ℬ (𝓅, 𝓂) (λ)^{m} \frac{d^{m} O P (λ)}{d λ^{m}}$ $,$ $P O D = \frac{d^{p} k (ω)}{d ω^{p}} = (- 1)^{p} (\frac{λ}{2 π c})^{(p - 1)} \sum_{m = 0}^{p} ℬ (𝓅, 𝓂) (λ)^{m} \frac{d^{m} n (λ)}{d λ^{m}}$

Матричните елементи на преобразуванията са беззнаковите коефициенти на Лагер от ред минус 2: $ℬ (p, m) = \frac{p!}{(p - m)! m!} \frac{(p - 2)!}{(m - 2)!}$

$P O D = \frac{d^{m} φ (ω)}{d ω^{m}} = (- 1)^{p} (\frac{λ}{2 π c})^{(p - 1)} \sum_{m = 0}^{p} ℬ (𝓅, 𝓂) (λ)^{m} \frac{d^{m} O P (λ)}{d λ^{m}}$ $,$ $P O D = \frac{d^{m} k (ω)}{d ω^{m}} = (- 1)^{p} (\frac{λ}{2 π c})^{(p - 1)} \sum_{m = 0}^{p} ℬ (𝓅, 𝓂) (λ)^{m} \frac{d^{m} n (λ)}{d λ^{m}}$

Първите десет порядъка на дисперсия, написани за вълновия вектор, са:

$\begin{matrix} 𝐺 𝐷 = \frac{\partial}{\partial ω} k (ω) = \frac{1}{c} (n (ω) + ω \frac{\partial n (ω)}{\partial ω}) = \frac{1}{c} (n (λ) - λ \frac{\partial n (λ)}{\partial λ}) = v_{g r}^{- 1} \end{matrix}$

Груповият индекс на пречупване $n_{g}$ се дефинира като: $n_{g} = c v_{g r}^{- 1}$ .

$\begin{matrix} 𝐺 𝐷 𝐷 = \frac{\partial^{2}}{\partial ω^{2}} k (ω) = \frac{1}{c} (2 \frac{\partial n (ω)}{\partial ω} + ω \frac{\partial^{2} n (ω)}{\partial ω^{2}}) = \frac{1}{c} (\frac{λ}{2 π c}) (λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝑇 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{3}}{\partial ω^{3}} k (ω) = \frac{1}{c} (3 \frac{\partial^{2} n (ω)}{\partial ω^{2}} + ω \frac{\partial^{3} n (ω)}{\partial ω^{3}}) = - \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{2} (3 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝐹 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{4}}{\partial ω^{4}} k (ω) = \frac{1}{c} (4 \frac{\partial^{3} n (ω)}{\partial ω^{3}} + ω \frac{\partial^{4} n (ω)}{\partial ω^{4}}) = \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{3} (12 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 8 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝐹 𝑖 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{5}}{\partial ω^{5}} k (ω) = \frac{1}{c} (5 \frac{\partial^{4} n (ω)}{\partial ω^{4}} + ω \frac{\partial^{5} n (ω)}{\partial ω^{5}}) = - \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{4} (60 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 60 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + 15 λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}} + λ^{5} \frac{\partial^{5} n (λ)}{\partial λ^{5}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝑆 𝑖 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{6}}{\partial ω^{6}} k (ω) = \frac{1}{c} (6 \frac{\partial^{5} n (ω)}{\partial ω^{5}} + ω \frac{\partial^{6} n (ω)}{\partial ω^{6}}) = \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{5} (360 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 480 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + 180 λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}} + 24 λ^{5} \frac{\partial^{5} n (λ)}{\partial λ^{5}} + λ^{6} \frac{\partial^{6} n (λ)}{\partial λ^{6}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝑆 𝑒 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{7}}{\partial ω^{7}} k (ω) = \frac{1}{c} (7 \frac{\partial^{6} n (ω)}{{\partial ω}^{6}} + ω \frac{\partial^{7} n (ω)}{{\partial ω}^{7}}) = - \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{6} (2520 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 4200 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + 2100 λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}} + 420 λ^{5} \frac{\partial^{5} n (λ)}{\partial λ^{5}} + 35 λ^{6} \frac{\partial^{6} n (λ)}{\partial λ^{6}} + λ^{7} \frac{\partial^{7} n (λ)}{\partial λ^{7}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝐸 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{8}}{\partial ω^{8}} k (ω) = \frac{1}{c} (8 \frac{\partial^{7} n (ω)}{{\partial ω}^{7}} + ω \frac{\partial^{8} n (ω)}{\partial ω^{8}}) = \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{7} (20160 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 40320 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + 25200 λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}} + 6720 λ^{5} \frac{\partial^{5} n (λ)}{\partial λ^{5}} + 840 λ^{6} \frac{\partial^{6} n (λ)}{\partial λ^{6}} + \\ + 48 λ^{7} \frac{\partial^{7} n (λ)}{\partial λ^{7}} + λ^{8} \frac{\partial^{8} n (λ)}{\partial λ^{8}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝑁 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{9}}{\partial ω^{9}} k (ω) = \frac{1}{c} (9 \frac{\partial^{8} n (ω)}{\partial ω^{8}} + ω \frac{\partial^{9} n (ω)}{\partial ω^{9}}) = - \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{8} (181440 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 423360 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + 317520 λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}} + 105840 λ^{5} \frac{\partial^{5} n (λ)}{\partial λ^{5}} + 17640 λ^{6} \frac{\partial^{6} n (λ)}{\partial λ^{6}} + \\ + 1512 λ^{7} \frac{\partial^{7} n (λ)}{\partial λ^{7}} + 63 λ^{8} \frac{\partial^{8} n (λ)}{\partial λ^{8}} + λ^{9} \frac{\partial^{9} n (λ)}{\partial λ^{9}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} 𝑇 𝑒 𝑂 𝐷 = \frac{\partial^{10}}{\partial ω^{10}} k (ω) = \frac{1}{c} (10 \frac{\partial^{9} n (ω)}{\partial ω^{9}} + ω \frac{\partial^{10} n (ω)}{\partial ω^{10}}) = \frac{1}{c} {(\frac{λ}{2 π c})}^{9} (1814400 λ^{2} \frac{\partial^{2} n (λ)}{\partial λ^{2}} + 4838400 λ^{3} \frac{\partial^{3} n (λ)}{\partial λ^{3}} + 4233600 λ^{4} \frac{\partial^{4} n (λ)}{\partial λ^{4}} + 1693440 λ^{5} \frac{\partial^{5} n (λ)}{\partial λ^{5}} + \\ + 352800 λ^{6} \frac{\partial^{6} n (λ)}{\partial λ^{6}} + 40320 λ^{7} \frac{\partial^{7} n (λ)}{\partial λ^{7}} + 2520 λ^{8} \frac{\partial^{8} n (λ)}{\partial λ^{8}} + 80 λ^{9} \frac{\partial^{9} n (λ)}{\partial λ^{9}} + λ^{10} \frac{\partial^{10} n (λ)}{\partial λ^{10}}) \end{matrix}$

Написани за фазата $φ$ , първите десет порядъка на дисперсия могат да бъдат изразени като функция на дължината на вълната, като се използват преобразуванията на Лах (уравнение (2)), като:

$\begin{matrix} \frac{\partial p}{\partial ω^{p}} f (ω) = {(- 1)}^{p} {(\frac{λ}{2 π c})}^{p} \sum_{m = 0}^{p} 𝒜 (p, m) λ^{m} \frac{\partial^{m}}{\partial λ^{m}} f (λ) \end{matrix}$ $,$ $\begin{matrix} \frac{\partial^{p}}{\partial λ^{p}} f (λ) = {(- 1)}^{p} {(\frac{ω}{2 π c})}^{p} \sum_{m = 0}^{p} 𝒜 (p, m) ω^{m} \frac{\partial^{m}}{\partial ω^{m}} f (ω) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial φ (ω)}{\partial ω} = - (\frac{2 π c}{ω^{2}}) \frac{\partial φ (ω)}{\partial λ} = - (\frac{λ^{2}}{2 π c}) \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{2} φ (ω)}{\partial ω^{2}} = \frac{\partial}{\partial ω} (\frac{\partial φ (ω)}{\partial ω}) = {(\frac{λ}{2 π c})}^{2} (2 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{3} φ (ω)}{\partial ω^{3}} = - {(\frac{λ}{2 π c})}^{3} (6 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 6 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{4} φ (ω)}{\partial ω^{4}} = {(\frac{λ}{2 π c})}^{4} (24 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 36 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 12 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{5} φ (ω)}{\partial ω^{5}} = - {(\frac{λ}{2 π c})}^{5} (120 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 240 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 120 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + 20 λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}} + λ^{5} \frac{\partial^{5} φ (λ)}{\partial λ^{5}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{6} φ (ω)}{\partial ω^{6}} = {(\frac{λ}{2 π c})}^{6} (720 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 1800 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 1200 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + 300 λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}} + 30 λ^{5} \frac{\partial^{5} φ (λ)}{\partial λ^{5}} + λ^{6} \frac{\partial^{6} φ (λ)}{\partial λ^{6}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{7} φ (ω)}{\partial ω^{7}} = - {(\frac{λ}{2 π c})}^{7} (5040 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 15120 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 12600 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + 4200 λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}} + 630 λ^{5} \frac{\partial^{5} φ (λ)}{\partial λ^{5}} + 42 λ^{6} \frac{\partial^{6} φ (λ)}{\partial λ^{6}} + λ^{7} \frac{\partial^{7} φ (λ)}{\partial λ^{7}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{8} φ (ω)}{\partial ω^{8}} = {(\frac{λ}{2 π c})}^{8} (40320 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 141120 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 141120 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + 58800 λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}} + 11760 λ^{5} \frac{\partial^{5} φ (λ)}{\partial λ^{5}} + 1176 λ^{6} \frac{\partial^{6} φ (λ)}{\partial λ^{6}} + 56 λ^{7} \frac{\partial^{7} φ (λ)}{\partial λ^{7}} + \\ + λ^{8} \frac{\partial^{8} φ (λ)}{\partial λ^{8}}) \end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{\partial^{9} φ (ω)}{\partial ω^{9}} = - {(\frac{λ}{2 π c})}^{9} (362880 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 1451520 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 1693440 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + 846720 λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}} + 211680 λ^{5} \frac{\partial^{5} φ (λ)}{\partial λ^{5}} + 28224 λ^{6} \frac{\partial^{6} φ (λ)}{\partial λ^{6}} + \\ + 2016 λ^{7} \frac{\partial^{7} φ (λ)}{\partial λ^{7}} + 72 λ^{8} \frac{\partial^{8} φ (λ)}{\partial λ^{8}} + λ^{9} \frac{\partial^{9} φ (λ)}{\partial λ^{9}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \frac{\partial^{10} φ (ω)}{\partial ω^{10}} = {(\frac{λ}{2 π c})}^{10} (3628800 λ \frac{\partial φ (λ)}{\partial λ} + 16329600 λ^{2} \frac{\partial^{2} φ (λ)}{\partial λ^{2}} + 21772800 λ^{3} \frac{\partial^{3} φ (λ)}{\partial λ^{3}} + 12700800 λ^{4} \frac{\partial^{4} φ (λ)}{\partial λ^{4}} + 3810240 λ^{5} \frac{\partial^{5} φ (λ)}{\partial λ^{5}} + 635040 λ^{6} \frac{\partial^{6} φ (λ)}{\partial λ^{6}} + \\ + 60480 λ^{7} \frac{\partial^{7} φ (λ)}{\partial λ^{7}} + 3240 λ^{8} \frac{\partial^{8} φ (λ)}{\partial λ^{8}} + 90 λ^{9} \frac{\partial^{9} φ (λ)}{\partial λ^{9}} + λ^{10} \frac{\partial^{10} φ (λ)}{\partial λ^{10}}) \end{matrix}$

Източници

Шаблон:Reflist

Външни препратки

Дисперсия и хроматична аберация

Шаблон:Мъниче

[1] Шаблон:Cite book

[2] Шаблон:Cite journal

[3] Шаблон:Cite journal

[1]

[2]

[3]

Дисперсия (оптика)

Обща формулировка на високите порядъци на дисперсия – Лах-Лагер оптика

Източници

Външни препратки

Навигация

Търсене