Теорема на Хамилтон

Теоремата на Хамилтон е една от теоремите в геометрията и гласи следното:

Ако точката $O$ е центърът на описаната около триъгълник $A B C$ окръжност, а точката $H$ е негов ортоцентър, то е в сила равенството $\vec{O H} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ .

Доказателство

Нека $O X ⊥ A B$ , $O Y ⊥ B C$ и $O Z ⊥ C A$ . Понеже точката $O$ е център на описаната окръжност, то $A X = X B$ , $B Y = Y C$ и $C Z = Z A$ . Тогава е изпълнена системата

${\begin{matrix} \vec{O X} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) \\ \vec{O Y} = \frac{1}{2} (\vec{O B} + \vec{O C}) \\ \vec{O Z} = \frac{1}{2} (\vec{O C} + \vec{O A}) \end{matrix}$

Събираме трите равенства почленно и получаваме

$\vec{O X} + \vec{O Y} + \vec{O Z} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} (1)$

Нека сега представим $\vec{O H}$ като разлика на следните вектори:

${\begin{matrix} \vec{O H} = \vec{A H} - \vec{A O} \\ \vec{O H} = \vec{B H} - \vec{B O} \\ \vec{O H} = \vec{C H} - \vec{C O} \end{matrix}$

Понеже $\vec{C H} = 2 \vec{O X}$ , $\vec{B H} = 2 \vec{O Z}$ и $\vec{A H} = 2 \vec{O Y}$ , то горната система придобива следният вид:

${\begin{matrix} \vec{O H} = 2 \vec{O Y} - \vec{A O} \\ \vec{O H} = 2 \vec{O Z} - \vec{B O} \\ \vec{O H} = 2 \vec{O X} - \vec{C O} \end{matrix}$

Събирайки трите равенства почленно ще получим

$3 \vec{O H} = 2 (\vec{O X} + \vec{O Y} + \vec{O Z}) - \vec{A O} - \vec{B O} - \vec{C O}$

тоест

$3 \vec{O H} = 2 (\vec{O X} + \vec{O Y} + \vec{O Z}) + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} (2)$

От $(1)$ и $(2)$ следва, че

$3 \vec{O H} = 2 (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}) + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$

или

$3 \vec{O H} = 3 (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

откъдето $\vec{O H} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ .

С това теоремата е доказана.

Теорема на Хамилтон

Доказателство

Навигация

Търсене