Ортоцентър

Шаблон:Без източници Ортоцентър се нарича пресечната точка на трите височини на даден триъгълник. Положението на ортоцентъра спрямо самия триъгълник зависи от вида на триъгълника:

• Лежи вътре в триъгълника, когато той е остроъгълен (трите му вътрешни ъгли са по-малки от 90°);
• Лежи извън триъгълника, когато той е тъпоъгълен (има ъгъл, по-голям от 90°);
• Съвпада с върха, където е правият ъгъл, когато е правоъгълен триъгълник.

Свойства

Трите височини в един триъгълник се пресичат в една точка

Ще разгледаме две доказателства. Нека $AM\perp BC$, $BN\perp AC$ и $AM\cap BN=\{H\}$.

Доказателство с окръжности

Означаваме $\mathrm{\angle }BAM=\alpha$. Понеже $\mathrm{\angle }ANB=\mathrm{\angle }AMB$, то четириъгълникът $ABMN$ е вписан в окръжност. Тогава $\mathrm{\angle }BAM=\mathrm{\angle }BNM=\alpha (1)$. В четириъгълникът $HMCN$, $\mathrm{\angle }HMC+\mathrm{\angle }HNC=180^{\circ }$, следователно и той е вписан. Това означава, че $\mathrm{\angle }HNM=\mathrm{\angle }HCM=\alpha (2)$. От $(1)$ и $(2)$ става ясно, че $\mathrm{\angle }BAM=\mathrm{\angle }HCM=\alpha$. Нека сега $CH\cap AB=\{P\}$. В триъгълник $PBC$, $\mathrm{\angle }PCB=\alpha$ и $\mathrm{\angle }PBC=90^{\circ }-\alpha$, следователно $\mathrm{\angle }CPB=90^{\circ }$. С това доказахме, че трите височини се пресичат в една точка.

Доказателство с вектори

От тъждеството на Ойлер имаме$\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CH}=\overrightarrow{0}$Понеже скаларното произведение на два перпендикулярни вектора е равно на нула, то стигаме до извода, че

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CH}=0$

откъдето и

$\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{CH}$

Следователно трите височини се пресичат в една точка.

Еднакви окръжности

Нека $H$ е ортоцентърът на триъгълник $ABC$. Тогава окръжностите, описани около триъгълниците $ABH$ и $ABC$, са еднакви.

Доказателство

Нека $\mathrm{\angle }ACB=\gamma$. Тогава $\mathrm{\angle }NHM=360^{\circ }-2\cdot 90^{\circ }-\gamma =180^{\circ }-\gamma =\mathrm{\angle }AHB$. Прилагаме синусовата теорема за триъгълниците $ABC$ и $ABH$:

$\{\begin{array}{c}\frac{AB}{\sin \gamma }=2R_{ABC}\\ \frac{AB}{\sin (180^{\circ }-\gamma )}=2R_{ABH}\end{array}$

където $R_{ABH}$ и $R_{ABC}$ са радиусите на окръжностите, описани съответно около триъгълниците $ABH$ и $ABC$.

Но $\sin (180^{\circ }-\gamma )=\sin \gamma$, следователно системата придобива следния вид:

$\{\begin{array}{c}\frac{AB}{\sin \gamma }=2R_{ABC}\\ \frac{AB}{\sin \gamma }=2R_{ABH}\end{array}$

откъдето става ясно, че $R_{ABH}=R_{ABC}$, т.e. окръжностите са еднакви.

Аналогично може да се покаже, че $R_{ABC}=R_{BCH}$ и $R_{ABC}=R_{AHC}$

Права на Ойлер

Ортоцентърът, центърът на описана окръжност, медицентърът и центърът на Окръжността на деветте точки лежат на една права - права на Ойлер. Центърът на Окръжността на деветте точки съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра с центъра на описаната окръжност, а разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е половината от това между медицентъра и ортоцентъра.