Теорема и вектор на Пойнтинг

Излъчване от дипол, показващо силата на електричното поле (цвят) и вектора на Пойнтинг (стрелки) в равнината.

Теорема на Пойнтинг или уравнение на Пойнтинг представлява енергийното уравнение на електродинамиката. Уравнението има следната обща диференциална форма:

$\text{div}\overrightarrow{S}=-\frac{\partial }{\partial t}[\frac{1}{2}(\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{D}-\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{H})]-\overrightarrow{E}(t,\overrightarrow{r})\cdot \overrightarrow{j}(t,\overrightarrow{r})$,

където $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$ се нарича вектор на Пойнтинг. $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{H}$ са съответно интензитетите на електрическото и магнитното полета, $\overrightarrow{j}$ е токовата плътност.

През 1884 година Джон Хенри Пойнтинг (1852 – 1914) публикува теоремата в статията За пренасянето на енергия в електромагнитното поле в издание на кралското научно общество в Лондон [1]. Пойнтинг също предприема обширни експерименти за определяне на гравитационната константа.

Векторът на Пойнтинг има размерност на плътност на потока на енергията за единица време (с размерност [$W/m^2$]) и има посока, съвпадаща с посоката на разпространение на енергията на полето. Първият израз от дясната страна на уравнението показва степента на намаляване във времето на потенциалната или запасената енергия в разглежданата система. Изразът има две компоненти: едната е степента на промяна във времето на енергията на електрическото поле, а другата степента на промяна на запасената енергията на магнитното поле. Вторият израз в дясната част на уравнението съответства на източници на енергия, които могат да съществуват в разглеждания обем (токова плътност, породена от батерия или генератор в обема) или токова плътност, предизвикана от външни източници (индукционни токове). Трябва да се обърне внимание, че изразът $\overrightarrow{E}(t,\overrightarrow{r})\cdot \overrightarrow{j}(t,\overrightarrow{r})$ е положителен, когато съответства на източник в обема, и отрицателен при енергия, доставена от външен източник.

В интегрална форма уравнението на Пойнтинг се записва като:

${\oint }_{(s)}\overrightarrow{S}\overrightarrow{ds}=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{(V)}{\int }[\frac{ϵE^2}{2}+\frac{\mu H^2}{2}]dv-\underset{(V)}{\int }\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{j}dv$,

Уравнението се получава, използвайки изразите $\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{E}$ ($\overrightarrow{D}$ е векторът на електрическата индукция или плътността на електрическия поток) и $\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$ ($\overrightarrow{B}$ е векторът на магнитната индукция или плътността на магнитния поток), $ϵ$ е диелектричната проницаемост и $\mu$ е магнитната проницаемост на средата. В този си вид уравнението изразява баланс на мощности, измервани във VA (за реактивната) и W (за активната мощност).

Векторът на Пойнтинг при електростатично поле е равен на нула. При такова поле няма електромагнитно излъчване.

Източници

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book