Неравенство на Йенсен

Шаблон:Без източници Необходимо и дотатъчно условие една функция $f(x):ℝ\to ℝ$ да е изпъкнала в интервала $I$ е за всеки набор от $n$ числа $x_1,x_2,\dots ,x_n\in I$ да е изпълнено за някакви $a_1,a_2,\dots ,a_n>0$ със сума $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$, че

$$a_{1}f(x_1)+a_{2}f(x_2)+\cdots +a_{n}f(x_n)\ge f(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n)$$

Доказателство: При $n=2$ получаваме критерия за изпъкналост по дефиниция.

Ако твърденито е вярно за $n-1$ тогава $a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}=1$. Нека $a_{n-1}=a_{n^{\prime }-1}+a_{n^{\prime }}$. Следователно последователно получаваме:

$$a_{1}f(x_1)+\cdots +a_{n^{\prime }-1}f(x_n)+{a_n}^{\prime }f(x_{n-1})\ge a_{1}f(x_1)+\cdots +(a_{n^{\prime }-1}+{a_n}^{\prime })f\left(\frac{a_{n^{\prime }-1}{x}_{n-1}+{a_n}^{\prime }{x}_n}{a_{n^{\prime }-1}+{a_n}^{\prime }}\right)=$$

$$=a_{1}f(x_1)+a_{2}f(x_2)+\cdots +a_{n-1}f\left(\frac{a_{n^{\prime }-1}{x}_{n-1}+{a_n}^{\prime }{x}_n}{a_{n-1}}\right)\ge f(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_{n-1}\frac{a_{n^{\prime }-1}{x}_{n-1}+{a_n}^{\prime }{x}_n}{a_{n-1}})=$$

$$=f(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_{n^{\prime }-1}{x}_{n-1}+{a_n}^{\prime }{x}_n)$$

Следователно неравенството следва по индукция.

Алтернативно доказателство може да се извърши и като използваме тегловата форма на неравенството на Карамата.

Вижте също

• Неравенство на Карамата