Симплекс

Симплекс е обобщено математическо понятие за най-простата геометрична фигура в n-мерното пространство. Геометрически може да бъд представен като множество от $(n+1)$ точки, всяка от които е свързана с всички останали точки. n-Симплекс може да се построи от (n-1)-симплекс чрез добавяне на нова точка по n-тото измерение и свързването ѝ с всички останали върхове на (n-1)-симплекса.

Образуване на симплекс от нулево до четвърто измерение

$n$-мерни симплекси

$n$	име
0	точка
1	отсечка
2	триъгълник
3	тетраедър
4	петоклетъчник
5	шестопетичник

Свойства

• Един n-мерен симплекс има $n+1$ върха, всеки $k+1$ от които образуват k-мерно лице.

• По-специално, броят на k-измерните лица в n-симплекс е равен на биномния коефициент $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}).$
• По-специално, броят на лицата на най-високото измерение съвпада с броя на върховете и е равен на $n+1$.

• Обемът на n-симплекс се намира с интеграла:

$\int \cdots \int d{x}_1\cdots d{x}_n=\frac{h^n}{n!}$, където $h$ е височината на симплекса.

• Ориентираният обем на n-симплекс в n-мерното евклидово пространство може да се определи по формулата

$V=\frac{1}{n!}\det (v_1-v_0,v_2-v_0,\dots ,v_n-v_0).$

• Детерминантата на Кели – Менгер позволява да се изчисли обема на симплекс, като се знаят дължините на неговите ръбове:

$V^2=\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^n(n!{)}^2}\left|\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& 0& d_{01}^2& d_{02}^2& \dots & d_{0n}^2\\ 1& d_{10}^2& 0& d_{12}^2& \dots & d_{1n}^2\\ 1& d_{20}^2& d_{21}^2& 0& \dots & d_{2n}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& d_{n0}^2& d_{n1}^2& d_{n2}^2& \dots & 0\end{array}\right|,$

където $d_{ij}=|v_i-v_j|$ е разстоянието между i-тия и j-тия връх, n е измерението на пространството. Тази формула е обобщение на формулата на Херон за триъгълници.

• Обемът на правилен n-симплекс с единична страна е $\frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}$.

• Радиусът $R$ на описаната n-мерна сфера удовлетворява съотношението $(R\cdot V{)}^2=T,$

където $V$ е обемът на симплекса и

$T=\frac{(-1{)}^n}{2^{n+1}{(n!)}^2}\left|\begin{array}{ccccc}0& d_{01}^2& d_{02}^2& \dots & d_{0n}^2\\ d_{10}^2& 0& d_{12}^2& \dots & d_{1n}^2\\ d_{20}^2& d_{21}^2& 0& \dots & d_{2n}^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ d_{n0}^2& d_{n1}^2& d_{n2}^2& \dots & 0\end{array}\right|.$