Седемнадесетоъгълник

Седемнадесетоъгълникът (или хептадекагон) е многоъгълник със седемнадесет страни и ъгли.

Правилен седемнадесетоъгълник

Сборът на всички вътрешни ъгли е 2700° или $15\pi$ радиана. Има 119 диагонала. Броят им се определя по общата формула за многоъгълник $D=n(n-3)/2$, откъдето при $n=17$ се получава

$D=\frac{17(17-3)}{2}=119$.

Правилен седемнадесетоъгълник е този, при който всички страни и ъгли са равни. Той е представлявал интерес през вековете и е бил обект на дългогодишни научни изследвания. Свързва се най-вече с откритията на немския математик Карл Фридрих Гаус. По-нататък в статията се разглежда правилен седемнадесетоъгълник.

Ъгли

Вътрешният ъгъл е

$\varphi =\frac{2700^{\circ }}{17}={158\frac{14}{17}}^{\circ }=158,82352941176470588235294117647^{\circ }\approx 158,82353^{\circ }.$

Централният ъгъл и външният ъгъл са

$\mu =\frac{360^{\circ }}{17}={21\frac{3}{17}}^{\circ }=21,176470588235294117647058823529^{\circ }\approx \mathrm{21,1764}{7}^{\circ }.$

Вътрешен и централен ъгъл на правилен седемнадесетоъгълник

Лице

Лицето S /или площта/ на правилен седемнадесетоъгълник може да бъде намерено по три начина:

• По страната a:

$S=\frac{17a^2}{4}\cot (\frac{\pi }{17})\approx 22,735492a^2$

• По радиуса R на описаната окръжност:

$S=\frac{17R^2}{2}\sin (\frac{2\pi }{17})\approx 3,070554R^2$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

$S=17r^2\cdot \tan (\frac{\pi }{17})\approx 3,177851r^2$

В литературата и статията в съответствие с чертежа сe използват и други обозначения:
А вместо S, s вместо a, r_u вместо R и r_i вместо r .

Построения

Точно построение и доказателства на Гаус

Тъй като 17 е просто число на Ферма, правилен седемнадесетоъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:

Съобщението на Гаус през 1796 г., че правилният 17-ъгълник може да бъде построен с пергел и линийка. Лист на вестник „Обща литература“, 1796 г., стр. 554.

Това е доказано от Карл Фридрих Гаус в неговата монография „Аритметични изследвания“ през 1796 г., когато е на 19 години. Той доказва, че ако нечетните прости делители n на окръжността на равни дъги са различни прости числа на Ферма, тоест прости числа от вида $n=F_m=2^{2^m}+1$, тогава правилен n-ъгълник може да бъде построен с помощта на линийка и пергел (Теорема на Гаус-Ванцел). Тук m е цяло неотрицателно цяло число $m=0,1,2,3,\mathrm{...}$.
При $m=0$, $n=F_0=2^{2^0}+1=3$;
при $m=1$, $n=F_1=2^{2^1}+1=5$;
при $m=2$, $n=F_2=2^{2^2}+1=17$;
при $m=3$, $n=F_3=2^{2^3}+1=257$;
при $m=4$, $n=F_4=2^{2^4}+1=65537$; и т. н.
Следователно, от правилните n-ъгълници с нечетен брой страни, с линийка и пергел могат да се построят правилен триъгълник, петоъгълник, седемнадесетоъгълник, 257-ъгълник и т. н.

Доказателството на Гаус разчита и на факта, че построимостта е еквивалентна на изразимостта на тригонометричните функции на централния ъгъл в правилния 17-ъгълник чрез аритметични операции и извличане на квадратен корен. Така конструирането на правилен 17-ъгълник включва намиране на косинус от $2\pi /17$ чрез корен квадратен. В същата книга „Аритметични изследвания“ Гаус определя стойността на косинуса на централния ъгъл на седемнадесетоъгълника:

$\cos \mu =\cos \frac{360^{\circ }}{17}=$

$=\frac{1}{16}(\sqrt{17}-1+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}})\approx$ $\approx \mathrm{0,93247222940435580457311589182156.}$

Гаус дава тази формула в съвременна нотация, както е представена и в .

От този резултат произтича конструктивността и се прилага при построението:

Гаусова конструкция на правилния седемнадесетоъгълник.

Освен това резултатът може да се използва и за изчисляване на различни размери на седемнадесетоъгълника, като дължина на страната $s$, обиколка (периметър) $P$, радиус на вписаната окръжност $r_{\mathrm{i}}$, диагонал върху две страни $d_2$ и площ $A$:

Размери на правилен седемнадесетоъгълник, изразени чрез радиуса на описаната окръжност $r_{\mathrm{u}}$, централния ъгъл $\mu =\frac{360^{\circ }}{17}=21{\frac{3}{17}}^{\circ }$ и неговия косинус $ϵ=\cos \mu$

Дължина на страната	$s=\sqrt{2(1-ϵ)}\cdot r_{\mathrm{u}}$	$\approx \mathrm{0,367499}\cdot r_{\mathrm{u}}$
Периметър	$P=17\sqrt{2(1-ϵ)}\cdot r_{\mathrm{u}}$	$\approx \mathrm{6,247484}\cdot r_{\mathrm{u}}$
Радиус на вписаната окръжност	$r_{\mathrm{i}}=\sqrt{\frac{1+ϵ}{2}}\cdot r_{\mathrm{u}}$	$\approx \mathrm{0,982973}\cdot r_{\mathrm{u}}$
Диагонал	$d_2=2\sqrt{1-{ϵ}^2}\cdot r_{\mathrm{u}}$	$\approx \mathrm{0,722483}\cdot r_{\mathrm{u}}$
Площ	$A=\frac{17}{2}\sqrt{1-{ϵ}^2}\cdot r_{\mathrm{u}}^2$	$\approx \mathrm{3,070554}\cdot r_{\mathrm{u}}^2$
Вътрешен ъгъл	$\varphi =180^{\circ }-\mu =\frac{15}{17}\cdot 180^{\circ }$	$158{\frac{4}{17}}^{\circ }$

Построениe чрез Гаусовата кратка версия на формулата

На 21 юни 1801 г. Гаус представя на Академията в Санкт Петербург така наречената кратка версия в три стъпки за неговата горна формула, която е резултат от групирането на суми от индивидуални косинусови стойности. През 2009 г. Фридрих Л. Бауер ги описва подробно в книгата си „Historische Notes on Computer Science“ в главата „Карл Фридрих Гаус, 17-ъгълникът и MATEMATИКA“. В кратката версия са въведени спомагателните величини $q$ и $q^{\prime }$:

$q=\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)+\cos (4\cdot \frac{2\pi }{17})$ и

$q^{\prime }=\cos (3\cdot \frac{2\pi }{17})+\cos (5\cdot \frac{2\pi }{17}).$

Така за косинуса на централния ъгъл се получава резултатът:

$\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{1}{2}q+\sqrt{\frac{1}{4}{q}^2-\frac{1}{2}{q}^{\prime }}$ и

$\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{1}{2}\cdot (q+\sqrt{(qq-2q^{\prime })}).$

Построяването чрез Гаусовата кратка версия на формулата включва следните етапи:

• Построяване на спомагателните величини $p,q$ и произведението $qq$

Тук се прилага:

$p=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$ и

$q=\frac{p+\sqrt{1+pp}}{2}$.

При построенията е важно да не се объркат точките N с О, както и P с J или Q, защото са много близки.

В резултат се получава:

$p=AE$, $q=IN$ и

$qq=IQ$. Шаблон:Br

• Построяване на спомагателните величини $p^{\prime }$ и $q^{\prime }$.

$p^{\prime }=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$, $q^{\prime }=\frac{p^{\prime }+\sqrt{1+p^{\prime }{p}^{\prime }}}{2}$, $A^{\prime }$, отсечка $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}=1$, дъга 90°$(A^{\prime };r_1=1)$, $A^{\prime }{C}^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }=1$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$⊥$A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{D}^{\prime }$⊥$A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{4}\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, $\overline{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{4}\cdot \sqrt{17}$, окръжност $(D^{\prime };r_0=D^{\prime }{B}^{\prime })$, линия $A^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }$, $A^{\prime }{E}^{\prime }=p^{\prime }$, ¼ кръг $(A^{\prime };r_2=p^{\prime }),F^{\prime },G^{\prime },C^{\prime }{F}^{\prime }$, $G^{\prime }{E}^{\prime }{H}^{\prime }$||$C^{\prime }{F}^{\prime }$, $A^{\prime }{H}^{\prime }=p^{\prime }{p}^{\prime }$, линия $A^{\prime }{H}^{\prime }{I}^{\prime }{J}^{\prime }$, $H^{\prime }{I}^{\prime }=1$, $I^{\prime }{J}^{\prime }=1$, $A^{\prime }{K}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot A^{\prime }{J}^{\prime }$, ½ кръг $(K^{\prime };r=A^{\prime }{K}^{\prime }=K^{\prime }{J}^{\prime })$, $I^{\prime }{L}^{\prime }$⊥$A^{\prime }{J}^{\prime }$, $\overline{I^{\prime }{L}^{\prime }}=\sqrt{(p^{\prime }{p}^{\prime }+1)}$, $\overline{L^{\prime }{M}^{\prime }}=\overline{A^{\prime }{E}^{\prime }}=p^{\prime }$, $\overline{M^{\prime }{N}^{\prime }}=\overline{N^{\prime }{I}^{\prime }}=q^{\prime }$. Шаблон:Br

• Построяване на корен квадратен от $qq-2q^{\prime }$ и косинус от централния ъгъл $\mu$.

Шаблон:Br Доказателствата на Гаус представляват първия напредък в изграждането на правилен многоъгълник от над 2000 години. Гаус е бил толкова вдъхновен от откритието си, че в края на живота си завещал на гроба му да бъде изсечен правилен седемнадесетоъгълник. Скулпторът отказва да го направи с аргумента, че конструкцията ще бъде толкова сложна, че резултатът ще бъде неразличим от кръг.

Точно построение на Ричмънд

През 1893 г. Хърбърт Уилям Ричмънд публикува изрично описание на построяването на правилен шестоъгълник в 64 стъпки. Тази конструкция е показана по-долу.

Построение правильного семнадцатиугольника

1. Начертава се голям кръг k₁ (бъдещата описана окръжност около 17-ъгълника) с център O.
2. Прекарва се нейният диаметър AB.
3. Построява се към него перпендикуляр m, пресичащ k₁ в точките C и D.
4. Отбелязва се точка E — среда на DO.
5. По средата на EO се отбелязва точка F и се прекарва отсечката FA.
6. Построява се ъглополовящата (бисектрисата) w₁ на ъгъл ∠OFA.
7. Построява се ъглополовящата w₂ на ъгъла между m и w₁, която пресича AB в точка G.
8. От точка F се издига перпендикуляр s към w₂.
9. Построява се ъглополовящата w₃ на ъгъла между s и w₂. Тя пресича AB в точка H.
10. Построява се окръжността на Талес k₂ с диаметър HA и център в точка M. Тя се пресича с CD в точките J и K.

Анимирано построение на Ерхингер

11. Построява се окръжността k₃ с център G през точките J и K. Тя се пресича с AB в точках L и N. Тук е важно да не се обърка N с M, те са много близки.

12. Построява се допирателната към k₃ през точка N.

Пресечните точки на тази допирателна с първоначалната окръжност k₁ са точките P₃ и P₁₄ на желания седемнадесетоъгълник. Ако се вземе средата на получената дъга като P₀ и се нанесе дъгата P₀P₁₄ около кръга три пъти, всички върхове на седемнадесетоъгълника ще бъдат построени.

Построение на Ерхингер

Конструиране на правилен седемнадесетоъгълник с линийка и пергел в 64 стъпки е създадено и от Йоханес Ерхингер.

Построение на Жерард

Л. Жерард построява правилен 17-ъгълник само с пергел и публикува резултата в Mathematische Annalen (48-ми том) през 1897 г.

Пълно построение на Жерард

Анимирано построение на Жерард

Построение на ДеТемпъл

Изследванията с резултати продължават и в по-ново време. През 1991 г. Дуейн У. ДеТемпъл използва за построение на правилен 17-ъгълник четири така наречени окръжности на Карлайл.

Пълно построение на ДеТемпъл

Анимирано построение на ДеТемпъл с пауза 20 s в края