Топологична група

Шаблон:Без източници Топологична група е специално множество от елементи (точки), които образуват едновременно група и топологично пространство. Необходимо е операцията в групата (най-често умножение), да е съгласувана със структурата на топологичното пространство, т.е. да е непрекъсната функция или топологично изображение. Топологичните групи са изключително интересен математически обект, обединяващ алгебра и топология и позволяващ да се изследват чисто алгебрични структури наред с непрекъснати функции. Важен пример за топологични групи са групите на Ли, както и групите от трансформации в различните геометрии (афинна, проективна и др.)

Формално определение

Едно множество $G$ е топологична група ако са изпълнени следните условия

• $G$ е група
• $G$ е топологично пространство
• Груповата операция, разглеждана като функция $p:G\times G\to G$, дефинирана чрез $p(a,b)=ab$, е непрекъсната функция $\mathrm{\forall }a,b\in G$
• Вземането на обратен елемент, разглеждано като функция $inv:G\to G$, дефинирана чрез $inv(a)=a^{-1}$, е непрекъсната функция $\mathrm{\forall }a\in G$