Нормална група

Нормална подгрупа, нормален делител или инвариантна подгрупа в теория на групите е подгрупа от специален тип, позволяваща факторизиране на групи. Нормалните групи дължат съществуването си на несъвпадането, в общия случай, на левите съседни класове на дадена група с десните съседни класове на групата. Пръв Галоа осъзнава значението на нормалните групи за теория на групите.

Определение

Една подгрупа $N$, на група $G$, се нарича нормална подгрупа, отбелязва се $N⊴G,(N◃G,\text{ако}N⊊G)$, ако всеки ляв съседен клас на $G$ по $N$ съвпада с някой десен съседен клас на $G$ по $N$, или в алгебричен запис:
$N⊴G⟺\{aN|a\in G\}\subseteq \{Nb|b\in G\}$, което е еквивалентно на някое от следните три условия:

1. $gN=Ng,\mathrm{\forall }g\in G$
2. $g^{-1}Ng=N,\mathrm{\forall }g\in G$
3. $g^{-1}ng\in N,\mathrm{\forall }n\in N,\mathrm{\forall }g\in N$

Свойства

• Ядрото на хомоморфизъм на групи $\phi :G\to H$ е нормална подгрупа на $G$.
• Всяка нормална подгрупа на дадена група е ядро на някой хомоморфизъм на групата. Нормалните групи изчерпват множеството от всички ядра на хомоморфизми на дадената група.
• Сечение на произволен брой нормални подгрупи на дадена група е също нормална подгрупа на групата.
• В абеловите групи всички подгрупи са нормални.

Литература

• Обрешков, Н. (1930), Висша алгебра, Том 1, София: Университетска библиотека N 93.
• Сидеров, Пл. и Чакърян, К. (2002), Записки по алгебра, групи, пръстени, полиноми, София: ВЕДИ.