Конволюция

Шаблон:Без източници Конволюция (от лат. convolutus, pp. от convolvere – оплитам, усуквам) между две функции се нарича интегралът

$s(t)=f(t)\ast g(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t-\tau )g(\tau )\mathrm{d}\tau$,

където $f$ и $g$ са функции, интегрируеми в интервала $\{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$, а знакът $\ast$ бележи конволюция.

Конволюцията се среща често, когато се използва преобразование на Фурие, тъй като при преобразование на Фурие произведението на две функции се трансформира в конволюция на индивидуалните трансформации на двете функции. С други думи ако $\hat{f}$ и $\hat{g}$ образите на функциите $f$ и $g$, то за трансформацията на тяхното произведение е в сила следното равенство

$\widehat{f\cdot g}=\hat{f}\ast \hat{g}.$

Конволюцията може да бъде както между функции на една променлива, така и между функции на няколко променливи. Тогава за всяка променлива ${\tau }_i$ се въвежда съответно отместване $t_i$ и се интегрира по всяка променлива $\mathrm{d}{\tau }_i$. Например за функции на две променливи пълната конволюция е

$f(x,y)\ast g(x,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x-\xi ,y-\zeta )g(\xi ,\zeta )\mathrm{d}\xi \mathrm{d}\zeta$

Интерпретация

Конволюция на две правоъгълни функции

За интуитивно разбиране на същността на конволюцията помага следната интерпретация. Едната функция, например $f$ се инвертира ($f(x)\to f(-x)$) и се отмества спрямо другата на отстояние $t$ и се изчислява определения интеграл от произведението между отместената и неотместената функция. Резултатът е стойността на конволюцията за даденото отместване между двете функции. За различна стойност на отместването $t$ конволюцията има различна стойност, т.е. конволюцията е функция на отместването.

На графиката е дадена за пример конволюцията между две правоъгълни функции, зададени чрез

$f(t)=g(t)=\{\begin{array}{c}1t\in [-0,5;0,5]\\ 0t\notin [-0,5;0,5]\end{array}.$

Когато отместването между двете функции е под -1 интервалите, в които те са с ненулева стойност, не се застъпват, следователно произведението им е равно на 0 и интегралът също има стойност 0. Когато отместването стане -1 интервалите, в които функциите имат ненулева стойност се застъпват и стойността на конволюцията започва да расте. В жълто е оцветено застъпването между двете функции. Стойността на конволюцията е равна на площта на оцветената в жълто област. Когато отместването стане равно на нула интегралът придобива максималната стойност, равна на 1. От там насетне стойността му намалява до нула за отместване 1. За по-големи отмествания стойността на конволюцията е 0.

Свойства на конволюцията

Комутативност

$f\ast g=g\ast f$

Асоциативност

$f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h$

Дистрибутивност

$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h$

Асоциативност със скаларен параметър

$a(f\ast g)=(af)\ast g=f\ast (ag)$

Ако $\delta$ импулсната функция на Дирак, която се дефинира като

$\delta (t)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& t=0\\ 0& t\ne 0\end{array};\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t=1,$

в сила е следното равенство

$f\ast \delta =f$

Приложения

Конволюцията намира приложение в много математически, инженерни и физични задачи.

• В теорията на линейните системи изходният сигнал на линейна инвариантна система може да бъде описан като конволюция между входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Импулсна характеристика се нарича изходният сигнал на системата, ако входният сигнал е безкрайно кратък импулс.
• В оптиката ако предмет хвърля сянка върху екран, формата на сянката може да се представи като конволюция между формата на източника на светлина и формата на предмета. В този случай конволюцията се дефинира в две измерения.
• При цифрова обработката на изображения конволюцията се използва в алгоритми за намиране на контурите на обекти.