Трансцендентно число

Пи ($\pi$) е най-известното трансцендентно число.

Трансцендентно число е число, което не може да се получи като решение на уравнение, изградено от многочлен с рационални коефициенти и неравно на нула. Най-известните примери за трансцендентни числа са константата пи ($\pi$) и неперовото число ($e$). Въпреки че са известни само няколко случая на трансцендентни числа (отчасти, защото е много трудно да се докаже, че дадено число е трансцендентно), те съвсем не са редки. Всъщност, почти всички реални и комплексни числа са трансцендентни, тъй като алгебричните числа са изброими, докато редиците от реални и комплексни числа са неизброими. Всички реални трансцендентни числа са ирационални, тъй като всички рационални числа са алгебрични. Обраното не е вярно: не всички ирационални числа са трансцендентни; например квадратният корен от 2 е ирационален, но не трансцендентен, тъй като е решение на многочленното уравнение Шаблон:Math. Друго ирационално число, което не е трансцендентно е златното сечение, $\phi$ или $\varphi$, защото е решение на многочленното уравнение Шаблон:Math.

Свойства

• Множеството на трансцендентните числа е континуално.
• Всяко трансцендентно реално число е ирационално, но обратното не е вярно.
• Редът на множеството на трансцендентните реални числа е изоморфен на реда на множеството на ирационалните числа.
• Мярката на ирационалност на почти всяко трансцендентно число е равна на 2.

Примери

• Числото $\pi$.
• Числото $e$.
• Десетичният логаритъм на кое да е цяло число, освен числата от вида $10^n$.
• $\sin a$, $\cos a$ и $\mathrm{t}\mathrm{g}a$ за кое да е ненулево алгебрично число $a$.

История

Името „трансцендентно“ идва от латинското transcendĕre – „изкачвам, прехвърлям“ и е използвано за пръв път в математиката от Лайбниц през 1682 г. в негов труд, където доказва, че Шаблон:Math не е алгебрична функция на Шаблон:Mvar. Ойлер е може би първият човек, който определя трансцендентните числа в съвременния им смисъл.

Йохан Ламберт предполага, че [[Неперово число|Шаблон:Mvar]] и [[Пи|Шаблон:Math]] са трансцендентни числа в своя труд от 1768 г., доказващ, че числото Шаблон:Math е ирационално, и предлага пробна скица за доказателство на трансцендентността на Шаблон:Math.

Жозеф Лиувил е първият, доказал съществуването на трансцендентни числа през 1844 г., а през 1851 г. дава първите десетични примери като числото на Лиувил:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}=0.1100010000000000000000010000\dots$

в което Шаблон:Mvar-тата цифра след десетичната запетая е Шаблон:Math, ако Шаблон:Mvar е равно на Шаблон:Math (Шаблон:Mvar факториел) за някои Шаблон:Mvar и Шаблон:Math в противния случай. С други думи, Шаблон:Mvar-тата цифра на това число е 1 само ако Шаблон:Mvar е едно от числата Шаблон:Math и т.н. Лиувил показва, че това число е именно това, което днес наричаме число на Лиувил. В основата си това означава, че то може да бъде приближено по-близко чрез рационални числа, отколкото с кое да е ирационално алгебрично число. Лиувил доказва, че всички числа на Лиувил са трансцендентни.

Първото число, което е доказано, че е трансцендентно, без да бъде специално построено за целта, е Шаблон:Mvar от Шарл Ермит през 1873 г.

През 1874 г. Георг Кантор доказва, че алгебричните числа са изброими, а реалните числа са неизброими. Той, също така, дава нов метод за построяване на трансцендентни числа. През 1878 г. Кантор публикува конструкция, която доказва, че има толкова трансцендентни числа, колкото и реални числа. Неговия труд установява вездесъщността на трансцендентните числа.

През 1882 г. Фердинанд фон Линдеман публикува доказателство, че числото Шаблон:Mvar е трансцендентно. Първоначално показва, че Шаблон:Math е трансцендентно, когато Шаблон:Mvar е алгебрично и ненулево. Тогава, тъй като Шаблон:Math е алгебрично, Шаблон:Math и следователно (вж. равенство на Ойлер) Шаблон:Mvar трябва да е трансцендентно. Този подход е обобщен от Карл Вайерщрас в теоремата на Линдеман-Вайерщрас. Трансцендността на Шаблон:Mvar позволява доказателството на невъзможността на няколко древни геометрични построения, сред които построения с линийка и пергел, включващи известната квадратура на кръга.

През 1900 г. Давид Хилберт поставя влиятелен въпрос относно трансцендентните числа: Ако Шаблон:Mvar е алгебрично число, което не е нула или единица, а Шаблон:Mvar е ирационално алгебрично число, то задължително ли е Шаблон:Math да е трансцендентно? Потвърдителният отговор е предоставен през 1934 г. от теоремата на Гелфон-Шнайдер. Трудът е разширен от Алан Бейкър през 1960-те години.