Оператор (математика)

Шаблон:Към пояснение Оператор (работник, изпълнител, Шаблон:Lang – работа, акт) в математиката е изображение между множества, при което всяко от тях притежава някаква допълнителна структура (ред, топология, алгебрични операции). Понятието „оператор“ е обобщение на понятието функция и се използва в различни клонове на математиката; точното значение зависи от контекста, например при функционалния анализ операторите означават съпоставяния, които свързват една функция с друга функция („оператор във функционалното пространство“ вместо „функция от функция“). Съществуват и други оператори: нарастването на функция на една променлива, производната ѝ, примитивната функция и др.

Някои видове оператори:

• оператори във функционалното пространство (диференциране, интегриране, конволюция с ядрото, преобразование на Фурие) при функционален анализ;
• изображения (особено линейни) между векторни пространства (проектори, завъртания на координатите, хомотетии, умножение на вектор по матрица) в линейната алгебра;
• трансформация на последователности (конволюция на дискретни сигнали, медианен филтър) в дискретната математика.

Основна терминология

За оператора $A:X\to Y$ се казва, че той действа от множество $X$ към множество $Y$. Операторът може да не е дефиниран навсякъде в $X$; тогава говорим за неговата област на дефиниция $D_A=D(A)\subset X$. За $x\in X$ резултатът от оператора $A$ върху $x$ се означава с $A(x)$ или $Ax$.

Ако $X$ и $Y$ са векторни пространства, то в множеството на всички оператори, преобразуващи $X$ в $Y$, може да се разграничи класът на линейните оператори.

Ако $X$ и $Y$ са векторни топологични пространства, то в набора от оператори, преобразуващи $X$ в $Y$, естествено се разграничава класът на непрекъснатите оператори, както и класът на линейно ограничените оператори и класът на линейните компактни оператори (наричани още напълно непрекъснати).

Класът на така наречените линейни оператори е основен за практиката. Той е и най-изследван. Пример за линеен оператор е операцията за умножение на $n$ -мерен вектор по матрица с размер $n\times m$. Този оператор изобразява $n$ -мерното векторно пространство в $m$ -мерно.