Преобразование на Фурие

Шаблон:Без източници Преобразуване на Фурие разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразуване на Фурие

Нека $f$ е функция с период $2\pi$, която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала $𝕋=[0,2\pi )$. С $L^1(𝕋)$ означаваме банаховото пространство от функции $f$, за които е изпълнено $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(t)|dt<\mathrm{\infty }.$

Преобразуването на Фурие $\hat{f}$ се дефинира чрез интеграла $\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)e^{-2\pi int}dt,n\in \mathbb{Z}$. Комплексното число $\hat{f}(n)$ се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на $f$.

Преобразуване на Фурие за n-мерно пространство

Нека $f$ е функция от банаховото пространство $L^1({ℝ}^n)$, което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху ${ℝ}^n$. Преобразуването на Фурие се дефинира чрез интеграла $\hat{f}(\omega )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(t)e^{-2\pi i⟨\omega ,t⟩}$.

Ако разглеждаме функциите $f$ от хилбертовото пространство $L^2({ℝ}^n)$, т.е. всички фунцкии, за които $\underset{{ℝ}^n}{\int }|f(t){|}^{2}dt<\mathrm{\infty }$, можем да дефинираме Преобразуването на Фурие като линеен оператор $ℱ:L^2({ℝ}^n)\to L^2({ℝ}^n)$, за който е изпълнено следното

• $ℱf=\hat{f},f\in L^1\cap L^2$,
• $\Vert ℱf{\Vert }_{L^2}=\Vert f{\Vert }_{L^2}$.

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за Преобразуване на Фурие, дефинирано в $L^2({ℝ}^n)$.

Преобразуване на Фурие за обобщени функции

Нека $f\in 𝒮({ℝ}^n)$, а $\mu \in {𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ е обобщена функция. Тогава преобразуването на Фурие $\hat{\mu }$ се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството $⟨f,\mu ⟩=⟨\hat{f},\hat{m}⟩$.

Свойства на коефициентите на Фурие

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

• $\widehat{f+g}(n)=\hat{f}(n)+\hat{g}(n)$ за $f,g\in L^1(𝕋)$;
• $\widehat{cf}(n)=c\hat{f}(n)$ за $c\in ℂ,f\in L^1(𝕋)$;
• $\hat{\overline{f}}(n)=\overline{\hat{f}(n)}$ за $f\in L^1(𝕋)$;
• Ако означим $f_{\tau }(t)=f(t-\tau ),\tau \in 𝕋$, то ${\hat{f}}_{\tau }(n)=\hat{f}(n)e^{-int}$ (транслация се преобразува в модулация);
• Ако означим $f^m(t)=e^{2\pi imt}f(t),m\in \mathbb{Z}$, то ${\hat{f}}^m(n)=f(n-m)$ (модулация се преобразува в транслация);
• $\widehat{(f\ast g)}(n)=\hat{f}(n)\cdot \hat{g}(n)$ (конволюция се преобразува в произведение);
• Оценка на коефициентите: $|\hat{f}(n)|\le \frac{1}{2\pi }\underset{𝕋}{\int }|f(t)|dt.$

Непрекъснатост

Ако $f_j\in L^1(𝕋),j\in \mathbb{N}$ и $\Vert f_j-f_0{\Vert }_{L^1}\to 0$, то ${\hat{f}}_j(n)$ клони равномерно към ${\hat{f}}_0(n)$ за всяко n.

Сходимост

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция $f\in L^1(𝕋)$ е изпълнено $\underset{|n|\to \mathrm{\infty }}{\lim }\hat{f}(n)=0$.