Комплексен вектор

RLC-контур, свързан последователно, и съответстващата фазова диаграма за определена ω.

Сумата от комплексни вектори като сбор на въртящи се вектори.

Комплексен вектор е термин, използван във физиката и инженерството, за въртящ се вектор, представящ изменяща се по синусоиден закон величина. Дължината му изразява амплитудата на величината, а ъгловата скорост на въртене на вектора е равна на ъгловата честота на величината. Фазовият ъгъл между две величини може да се представи с ъгъла между техните комплексни вектори.

Често срещан случай в електрическите мрежи е наличието на различни синусоиди с една и съща честота, но с различни амплитуда и фаза. Единствета разлика при аналитичното им представяне е комплекснат аамплитуда.

Важна допълнителна особеност на преобразуването на комплексните вектори е, че диференцирането и интегрирането на синусоидалните сигнали (имащи постоянна амплитуда, период и фаза) съответстват на прости алгебрични действие върху комплексните вектори. По този начин, тези преобразувания позволяват изчисляването на променливотокови RLC-контури (колебателни контури) чрез решаване на прости алгебрични уравнения (макар и с комплексни коефициенти) спрямо комплексните вектори, вместо диференциални уравнения (с реални коефициенти) спрямо времето. Преобразуването на комплексните вектори за пръв път е изучавано от Чарлз Щайнмец в General Electric към края на 19 век.

Определение

Формулата на Ойлер сочи, че синусоидите могат да се представят математически като сбор от две комплексни функции:

$A\cdot \cos (\omega t+\theta )=A\cdot \frac{e^{i(\omega t+\theta )}+e^{-i(\omega t+\theta )}}{2},$

или като реалната част на едната от функциите:

$\begin{array}{c}A\cdot \cos (\omega t+\theta )=\mathrm{Re}\{A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}\}=\mathrm{Re}\{A{e}^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\}.\end{array}$

Функцията $A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}$ се нарича аналитично представяне на $A\cdot \cos (\omega t+\theta )$.