Формула на Кардано

Формула на Кардàно e формула за намиране корените на кубично уравнение от каноничен вид,

$y^3+py+q=0$

кръстена на италианския математик Джироламо Кардано. Решението му е съобщено от друг италиански математик – Николо Фонтана Тарталя, който по-късно претендира, че Кардано се е заклел да не го публикува и влиза в десетгодишен спор с него.

С помощта на тази формула може да бъде решено и всяко кубично уравнение от общ вид

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$$(a\ne 0)$

с коефициенти реални числа. Чрез помощно заместване

$x=y-\frac{b}{3a}$

се получава, че:

$a{(y-\frac{b}{3a})}^3+b{(y-\frac{b}{3a})}^2+c(y-\frac{b}{3a})+d=0$

$a{y}^3-b{y}^2+\frac{b^{2}y}{3a}-\frac{b^3}{27a^2}+b{y}^2-\frac{2b^{2}y}{3a}+\frac{b^3}{9a^2}+cy-\frac{bc}{3a}+d=0$

Николо Тарталя

$a{y}^3+(c-\frac{b^2}{3a})y+(d+\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a})=0$

$y^3+\frac{3ac-b^2}{3a^2}y+\frac{27a^{2}d+2b^3-9abc}{27a^3}=0$

По този начин $p$ и $q$ получават стойности:

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}$

$q=\frac{27a^{2}d+2b^3-9abc}{27a^3}$

Самата формула определя параметрите $Q$ и $D$ в следния вид:

$Q={\left(\frac{p}{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2=\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}=\frac{4p^3+27q^2}{108}=\frac{-18abcd+4b^{3}d-b^2{c}^2+4a{c}^3+27a^2{d}^2}{108a^4}=-\frac{D}{108a^4}$

$Q=-\frac{D}{108a^4}$ играе ролята на дискриминанта в уравнението $y^3+py+q=0$, а $D=18abcd-4b^{3}d+b^2{c}^2-4a{c}^3-27a^2{d}^2$ е дискриминантата на уравнението от общ вид $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$. Знаменателят $108a^4>0$ за $a\ne 0$.

В зависимост от D (и респективно от Q) се определят какви ще бъдат корените на уравнението:

Ако $D>0$ и $Q<0$, то уравнението има 3 различни реални корена.

Ако $D=0$ и $Q=0$, то уравнението има 1 двукратен реален корен и още 1 реален корен. Възможно е да има и 1 трикратен реален корен, когато $p=q=0$, тоест $3ac-b^2=2b^3-9abc+27a^{2}d=0$.

Ако $D<0$ и $Q>0$, то уравнението има 1 реален корен и 2 комплексни.

Джироламо Кардано

Според формулата на Кардано,

$y_1=\alpha +\beta$

$y_2=-\frac{\alpha +\beta }{2}+\frac{i\sqrt{3}(\alpha -\beta )}{2}$

$y_3=-\frac{\alpha +\beta }{2}-\frac{i\sqrt{3}(\alpha -\beta )}{2}$

където е положeно

$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}$

$\beta =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}$

Следователно:

$x_1=y_1-\frac{b}{3a}$

$x_2=y_2-\frac{b}{3a}$

$x_3=y_3-\frac{b}{3a}$

Външни препратки

• Cardano's formula
• Cardano's method
• Cardano's formula for solving cubic equations Шаблон:Webarchive