Дискриминанта

Шаблон:Без източници Дискриминанта на полином (многочлен) на една променлива е число, което е равно на нула, тогава и само тогава, когато полиномът има повтарящ се корен. Точната дефиниция на дискриминантата на полинома

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

e

$D(f)=a_n^{2n-2}\prod _{1\le i<j\le n}{(x_i-x_j)}^2$

където x₁, x₂, …, x_n са всички n корена на полинома, броени с кратностите им.

Свойства

• Дискриминантата е симетричен полином и може да бъде изразена чрез елементарните симетрични полиноми. Последните съгласно формулите на Виет могат да бъдат заменени с коефициентите на изходния полином. Така дискриминантата е полином от коефициентите на многочлена.

• Дискриминантата на полинома f е равна на детерминантата на следната (2n − 1)×(2n − 1) матрица

$\left(\begin{array}{cccccccccc}& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0& 0& \dots & \dots & 0\\ & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0& 0& \dots & 0\\ & ⋮& & & & & & & & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 0& a_n& a_{n-1}& a_{n-2}& \dots & a_0\\ & n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & a_1& 0& \dots & \dots & 0\\ & 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & a_1& 0& \dots & 0\\ & ⋮& & & & & & & & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 0& n{a}_n& (n-1)a_{n-1}& (n-2)a_{n-2}& \dots & a_1\end{array}\right)$

Някои автори приемат горния израз за дефиниция на дискриминантата.

• Дискриминантата на f(x) е равна на резултантата на f(x) и f'(x), където f' е производната на f.

Примери

Дискриминантата на полином от втора степен P(x) = ax²+bx+c, е:

$D={(x_1-x_2)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-4x_1{x}_2={(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2=b^2-4ac$

Дискриминантата на полином от трета степен P(x) = ax³+bx²+cx+d, e:

$D=c^2{b}^2-4d{b}^3-4c^{3}a+18dcba-27d^2{a}^2$

Дискриминантата на полином от четвърта степен P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, е:

$D=256a^3{e}^3-192a^{2}bd{e}^2-128a^2{c}^2{e}^2+144a^{2}c{d}^{2}e-27a^2{d}^4+$

$+144a{b}^{2}c{e}^2-6a{b}^2{d}^{2}e-80ab{c}^{2}de+18abc{d}^3+16a{c}^{4}e-$

$-4a{c}^3{d}^2-27b^4{e}^2+18b^{3}cde-4b^3{d}^3-4b^2{c}^{3}e+b^2{c}^2{d}^2.$