Уравнения на Навие-Стокс

Уравненията на Навие-Стокс е система от частни диференциални уравнения, описваща движението на вискозен Нютонов флуид. Уравненията на Навие-Стокс са едни от най-важните в хидродинамиката и се прилагат в математическото моделиране на много природни явления и технически задачи. Носят имената на френския физик Анри Навие и британския математик Джордж Стокс, заради техни публикации в сферата, макар Симеон Дени Поасон и Адемар Бар де Сен-Венан също да допринасят за развитието на уравненията.

Системата се състои от две уравнения:

• уравнение на движението,
• уравнение за непрекъснатост.

Те се записват по следния начин във векторна форма (в случай на несвиващ се флуид):

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}+\nu \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\overrightarrow{f},$

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=0,$

където $\mathrm{\nabla }$ е операторът на Хамилтон, $\mathrm{\Delta }$ — оператор на Лаплас, $t$ — време, $\nu$ — коефициент на кинематичен вискозитет, $\rho$ — плътност, $p$ — налягане, $\overrightarrow{v}=(v^1,\dots ,v^n)$ — векторно поле на скоростите, $\overrightarrow{f}$ — векторно поле на силите, въздействащи на масата. Неизвестните $p$ и $\overrightarrow{v}$ са функции на времето $t$ и координатата $x\in \mathrm{\Omega }$, където $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$, $n=2,3$ е плоска или триизмерна област, в която се движи флуидът. Обикновено към системата уравнения на Навие-Стокс се добавят гранични и начални условия, например

$\overrightarrow{v}{|}_{\partial \mathrm{\Omega }}=0,$

$\overrightarrow{v}{|}_{t=0}={\overrightarrow{v}}_0.$

Понякога към системата уравнения на Навие-Стокс се включват допълнително и уравнението за топлопроводност и уравнението на състоянието.

Ако се отчете свиването на флуида, уравненията на Навие-Стокс придобиват следния вид:

$\rho (\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k})=-\frac{\partial P}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_k}\left\{\mu (\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}{\delta }_{i,k}\frac{\partial v_l}{\partial x_l})\right\}+\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\zeta \frac{\partial v_l}{\partial x_l}{\delta }_{i,k}\right),$

където $\mu$ е коефициентът на динамичен вискозитет, $\zeta$ – „втори вискозитет“.

През май 2000 г. математическият институт „Клей“ постави тази задача, като една от седемте „Задачи на хилядолетието“ по математика.