Оператор на Хамилтон

Шаблон:Обработка Хамилтоновият оператор представлява трансформация на Лежандр спрямо оператора на Лагранж. Въведен е през 1833 година от Уилям Роуън Хамилтон и позволява нов поглед върху класическата механика.

$H(q_j,p_j,t)=\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-L(q_j,{\dot{q}}_j,t)$

Ако трансформираме уравненията, чрез дефиниране на координатна система, независима от времето t, може да се покаже че H е равен на общата енергия: E = T + V.

H = T + V, Т – кинетична енергия, V – потенциална енергия

Математическа дефиниция

От математическа гледна точка една нелинейна динамична система е Хамилтонова, ако се задава от 2N на брой обикновени диференциални уравнения от първи ред със симплетична структура:

$\dot{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\dot{q_i}=-\frac{\partial H}{\partial p_i},i=1,2,3\dots ,N$ и $p(t)=(p_1,p_2,\dots ,p_N),q(t)=(q_1,q_2,\dots ,q_N)$.

Всяка двойка $(p_i,q_i)$ е степен на свобода, така че като цяло системата е с N степени на свобода. Скаларната функция $H=H(p(t),q(t);t)$ определя напълно системата и се нарича Хамилтониан. Зависимостта на системата от времето (t) я прави неавтономна $(\partial H/\partial t\ne 0)$ и добавя още една степен на свобода (N+1), или половин (N+1/2), ако зависимостта от t е периодична. Нередки са случаите, когато системата е автономна.

Да разгледаме диференциала на Н:

$\begin{array}{ccc}dH& =& \sum _i[\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)d{q}_i+\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)d{p}_i]+\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)dt\\ \\ & =& \sum _i[{\dot{q}}_{i}d{p}_i+p_{i}d{\dot{q}}_i-\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\right)d{q}_i-\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\right)d{\dot{q}}_i]-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)dt\end{array}$

Замествайки моментите на движението със съответните коефициенти получаваме Каноничното равенство на Хамилтон:

$\frac{\partial H}{\partial q_i}=-{\dot{p}}_i,\frac{\partial H}{\partial p_i}={\dot{q}}_j,\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t}$

Хамилтоновото уравнение е диференциално уравнение от първи ред и това улеснява решаването му, докато уравнението на Лагранж е от втори ред. Но основното предимство на Хамилтоновото уравнение е в това че оператора на Хамилтон по-добре отговаря и описва физическата същност на движението.

В крайна сметка резултатът, който получаваме и при Лагранж и при Хамилтон е един и същ, все пак спестяваме малко труд при решението на уравненията. Въвеждането на оператора на Хамилтон позволява по-задълбочено изследване на основните принципи на класическата механика.