Уравнения на Коши – Риман

Шаблон:Без източници Уравненията на Коши – Риман представляват система от две частни диференциални уравнения, които гарантират, че една функция дефинирана в комплексната равнина C със стойности в C притежава производна (в смисъла на комплексния анализ).

Производна на комплексна функция

Нека U е отворено подмножество на C и f : U → C е комплекснозначна функция дефинирана върху U. Казваме, че f е комплексно-диференцируема в точка z₀ от U ако границата

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$ съществува.

Границата тук се взима по всички редици от комплексни числа клонящи към z₀, и за всички тях горният израз трябва да клони към едно и също число, което се означава с f '(z₀). Това число се нарича производна на функцията f в точката z₀.

Формулировка на уравненията на Коши – Риман

Нека f(x + iy) = u + iv е комплекснозначна функция от отворено подмножество на C в C, където x, y, u, и v са реални, като u и v са функции с реални стойности дефинирани върху отворено подмножество на R², които са диференцируеми в него. Тогава f е диференцируема в точка z₀ тогава и само тогава, когато са изпълнени уравненията на Коши-Риман, които гласят:

$\frac{\partial u}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}(z_0)$ и $\frac{\partial u}{\partial y}(z_0)=-\frac{\partial v}{\partial x}(z_0)$

Извеждане на уравненията

Разглеждаме функция f(z) = u(x, y) + i v(x, y) със стойности в C. Искаме тази функция да притежава производна в точка z₀ (тогава функцията е диференцируема в z₀). Както споменахме, за да съществува производната в дадена точка е необходимо границата

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

да съществува и да една и съща по всички редици комплексни числа, клонящи към z₀. Тогава да разгледаме два случая: когато z клони към z₀ по направление успоредно на оста x, и когато клони по направление успоредно на оста y.

В първия случай имаме:

$f^{\prime }(z)$	$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]}{h}$
	$=\underset{h\to 0}{lim}[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}].$

Тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на u и v:

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.$

Във втория случай имаме:

$f^{\prime }(z)$	$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+ih)-f(z)}{ih}$
	$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]}{ih}$
	$=\underset{h\to 0}{lim}[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih}+i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}]$
	$=\underset{h\to 0}{lim}[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}]$
	$=\underset{h\to 0}{lim}[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}].$

Отново, тази граница може да се раздели на сума от две граници, които представляват частни производни на u и v:

$f^{\prime }(z)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

Приравнявайки двете стойности за производната получаваме:

$\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.$

Приравняваме реалните и имагинерните части:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

Холоморфни функции

Уравненията на Коши – Риман често се използват за проверка дали една функция е холоморфна. За да бъде холоморфна една функция в дадена точка z₀ е необходимо тя да притежава производна както в z₀, така и в някаква околност на z₀. Тогава, ако имаме отворено подмножество U на комплексната равнина C и функцията f(z) = u(x, y) + i v(x, y), дефинирана в U, то f е холоморфна в U тогава и само тогава, когато u и v са непрекъснато диференцируеми в U и за всяка точка от U u и v удовлетворяват уравненията

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$