Уравнение на Саха

Уравнението на Саха, известно също като уравнение на Саха-Ленгмюр се отнася до степента на йонизация на газ или (плазма), намиращи се в топлинно равновесие, като функция на температурата, налягането и йонизационната енергия на атомите. Това уравнение е един от важните инструменти за разбиране на спектрите на звездите в астрофизиката. Изведено е чрез комбиниране на идеите на квантовата и статистическата механика от индийския астрофизик Мегнад Саха през 1920 г., и по-късно (1923) независимо от Ървинг Лангмюр.

Извеждане

При повишаване на температурата на газа кинетичната енергия на атомите става толкова голяма, че при сблъсък един с друг атомите започват да губят електрони, тоест започва процес на йонизация. Такова състояние на веществото във физиката се нарича плазма. Ако газът е напълно йонизиран, йонизацията е пълна, ако част от атомите са йонизирани, а друга част са останали неутрални, йонизацията е частична.

Уравнението на Саха описва степента на йонизация на плазмата като функция от температурата, налягането и степента на йонизация на атомите. Уравнението е валидно само за равновесна плазма.

В случая на газ, съставен от един вид атоми, уравнението на Саха има вида:

$\frac{n_{i+1}{n}_e}{n_i}=\frac{2}{{\lambda }^3}\frac{g_{i+1}}{g_i}\exp [-\frac{({ϵ}_{i+1}-{ϵ}_i)}{k_{B}T}]$

където:

• $n_i$ е плътността на атомите в състояние на йонизация i, т.е. йон от степен i.
• $g_i$ е степента на израждане на йоните от вида i
• ${ϵ}_i$ е енергията, необходима за отделяне на i електрона от неутралния атом, с което се създава йон от степен i.
• $n_e$ е електронната плътност
• $\lambda$ е дължина на вълната на дьо Бройл на електрона при определена температура

$\lambda \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{h^2}{2\pi m_e{k}_{B}T}}$

• $m_e$ е масата на електрона
• $T$ е температурата на газа
• $k_B$ е константата на Болцман
• $h$ е константата на Планк

Изразът $({ϵ}_{i+1}-{ϵ}_i)$ описва енергията, необходима за отделяне на електрон с пореден номер$(i+1)$. В случай само с едно ниво на йонизация имаме $n_1=n_e$ и ако дефинираме общата плътност n като $n=n_0+n_1$, уравнението на Саха се опростява до:

$\frac{n_e^2}{n-n_e}=\frac{2}{{\lambda }^3}\frac{g_1}{g_0}\exp \left[\frac{-ϵ}{k_{B}T}\right]$

където $ϵ$ е енергията на йонизация.

Условия за приложимост

Уравнението на Саха е приложимо, ако йонизацията и рекомбинацията протичат по един и същ начин, плазмата се разглежда като идеален газ (при не много ниска и при не много висока плътност), кулоновата енергия е по-малка от топлинната.