Триъгълна призма

Триъгълна призма

Триъгълната призма е призма, на която с основите са триъгълници и има три странични стени. Затова е петостен (пентаедър) с 9 ръба и 6 върха, на който страничните стени в общия случай са успоредници с произволни ъгли. Ако те са наклонени към основите, призмата е наклонена. Възможно е едната странична стена на наклонената призма да е правоъгълник, а другите две да са успоредници – когато наклонът е в направление на височината към страната на основата, която е обща с правоъгълника.

Права триъгълна призма е тази, на която всички странични стени са правоъгълници и са перпендикулярни на основите. Правилна триъгълна призма е тази, на която основите са равностранни триъгълници. Може да бъде наклонена или права. Еднородната триъгълна призма е правилна триъгълна призма с равни ръбове – равностранна триъгълна основа и квадратни страни.

Всички сечения, успоредни на основите, са еднакви триъгълници. Перпендикулярите към страничните стени са в една и съща равнина, която е успоредна на основите при права призма и наклонена към тях при наклонена триъгълна призма.

Наклонена триъгълна призма

Полуправилен (еднороднен) многостен

Правата триъгълна призма е полуправилен многостен или по-общо равномерен многостен, ако основата е правилен триъгълник, а страните са квадрати.

Този полиедър може да се разглежда като пресечен триъгълен осоедър, представен от символа на Шлефли t{2,3}. Може да се разглежда и като директно произведение на триъгълник и сегмент, който е представен като {3}x{}.

Групата на симетрия на права призма с триъгълна основа е D_3h от 12-ти ред. Групата на въртене е D₃ от 6-ти ред. Групата на симетрия не съдържа централна симетрия.

Двойственият многостен на триъгълна призма е триъгълна бипирамида. В химията тя се среща под формата на въглеводорода триъгълен призман.

Обем

Размери за определяне обема на триъгълна призма

Обемът на всяка призма е равен на произведението на площта на основата и разстоянието между основите. В случая, когато основата е триъгълна, просто трябва да се изчисли площта на триъгълника и да се умножи по дължината на призмата:

$V=\frac{1}{2}bhl$,

където $b$ е дължината на страната на основата, $h$ е височината на триъгълника и $l$ е разстоянието между основите (височината на призмата).

Повърхнина

Околната и пълната повърхнина на триъгълна призма се намират по общите формули за произволна призма, когато основите са триъгълници. Те могат да се получат от формата на разгъната призма, която съдържа 3 успоредника и 2 еднакви триъгълника.

Наклонена триъгълна призма

Нека $a,b$ и $c$ са страните на основите, $l$ е околният ръб, наклонен под ъгъл $\alpha$ към основата, а $d$ е височината на околните стени. Околната (странична) повърхнина $S_c$ е сума от площите на 3 успоредника със страни $a,b$ и $c$, които сключват ъгъл $\alpha$ с общата им страна $l$.
Площта на основите $B$ е сума от лицата на два еднакви триъгълника и може да се определи по формулата на Херон, а пълната повърхнина $S$ е сума от основната и околната повърхнини.

Разгъната еднородна триъгълна призма

• Околна повърхнина

$S_c=(a+b+c)d$ или

$S_c=l(a+b+c)\sin \alpha$

• Основна повърхнина

$B=2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,

където $p=\frac{a+b+c}{2}$ е полупериметърът на триъгълника.

• Пълна повърхнина

$S=(a+b+c)d+2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ или

$S=l(a+b+c)\sin \alpha +2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Права триъгълна призма

При правата призма околният ръб е перпендикулярен на основата (α=90°) и съвпада с височината на страничната стена $l=d$.

• Околна повърхнина

$S_c=(a+b+c)l$

• Основна повърхнина

$B=2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

• Пълна повърхнина

$S=(a+b+c)l+2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Правилна триъгълна призма

Основните ръбове са равни $a=b=c$. Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-2

Наклонена

• Околна повърхнина

$S_c=3ad$ или

$S_c=3al\sin \alpha$

• Основна повърхнина

$S_c=a^2\sqrt{3}$

• Пълна повърхнина

$S=3ad+a^2\sqrt{3}$ или

$S=3al\sin \alpha +a^2\sqrt{3}$.

Права

• Околна повърхнина

$S_c=3al$

• Основна повърхнина

$S_c=a^2\sqrt{3}$

• Пълна повърхнина

$S=3al+a^2\sqrt{3}$.

Конфигурация на върха за еднородна триъгълна призма

Еднородна триъгълна призма

Всички ръбове са равни $a=b=c=l$.

• Околна повърхнина

$S_c=3a^2$

• Основна повърхнина

$S_c=a^2\sqrt{3}$

• Пълна повърхнина

$S=(3+\sqrt{3})a^2$.

Пресечена триъгълна призма

Пресечена триъгълна призма

Пресечената права триъгълна призма има пресечена триъгълна повърхност под наклонен ъгъл.

Обемът на пресечена триъгълна призма с основна площ $B$ и три височини $h1,h2$ и $h3$ се определя по формулата

$V=\frac{B(h_1+h_2+h_3)}{3}.$

Има пълна D_2h симетрия на сеченията на триъгълна призма без създаване на нови върхове (пресичането на ръбове не се счита за нов връх). Получените многостени имат с 6 стени равнобедрени триъгълници: един многостен, запазващ оригиналните горни и долни триъгълници, и един, запазващ оригиналните квадрати. Двете симетрии на сечението C_3v имат един основен триъгълник, 3 странични самопресичащи се квадрата и 3 равнобедрени триъгълника.

Оригинал	Сечение
Симметрия D3h			Симметрия C3v
2 {3} 3 {4}	3 {4} 6 () v { }	2 {3} 6 () v { }	1 {3} 3 t'{2} 6 () v { }	1 {3} 3 t'{2} 3 () v { }

Свързани многостени и пана

Свързани куполи

• Триъгълна купола
• Квадратна купола
• Петоъгълна купола
• Шестоъгълна купола (плоска)

Свързани призми

• Куб
• Петоъгълна призма
• Шестоъгълна призма
• Седмоъгълна призма
• Осмоъгълна призма
• Деветоъгълна призма
• Десетоъгълна призма
• Единадесетоъгълна призма
• Дванадесетоъгълна призма

Съединения

• Съединение от четири триъгълни призми (хирално)
• Съединение от осем триъгълни призми
• Съединение от десет триъгълни призми (хирално)
• Съединение от двадесет триъгълни призми

Пити

• завъртяноудължена четиристеноосмостенна пита
• удължена четиристеноосмостенна пита
• завъртяна триъгълна призматична пита
• скосена квадратна призматична пита
• триъгълна призматична пита
• тришестоъгълна призматична пита
• пресечена шестоъгълна призматична пита
• четиритришестоъгълна призматична пита
• скосено шестоъгълна призматична пита (хирална)
• удължена триъгълна призматична пита

Вижте също

• Призма
• Паралелепипед