Символ на Шлефли

Додекаедърът е правилен многостен със символ на Шлефли {5,3}, имащ 3 петоъгълника около всеки връх.

Символът на Шлефли е комбинаторна характеристика от вида $\{p,q,r,...\}$ за описване на правилни многостени във всички измерения. Наречен е на името на швейцарския математик Лудвиг Шлефли (1814–1895),Шаблон:Rp който обобщава евклидовата геометрия до повече от три измерения и описва всички правилни многостени в евклидовото пространство с произволни измерения.

Определение

Символът на Шлефли е рекурсивно описаниеШаблон:Rp, започващо с {p} за p-странен правилен многоъгълник, който е изпъкнал. Например {3} е равностранен триъгълник, {4} е квадрат, {5} – изпъкнал правилен петоъгълник и т. н.

Правилните звездни многоъгълници не са изпъкнали и техните символи на Шлефли {^p/_q} съдържат несъкратими дроби ^p/_q, където p е броят на върховете, а q е плътността на многоъгълника (броят на завъртанията около центъра на n-ъгълника, които се правят при начертаването му с n прави линии). Например {5⁄2} е пентаграма (петолъчна звезда), а {5⁄1} е правилен петоъгълник; {9⁄2} е енеааграма (деветолъчна звезда), а {9⁄1} е правилен деветоъгълник.

Правилен многостен, който има q странични стени правилни p-ъгълници около всеки връх, се определя с {p,q}. Например, кубът има 3 квадрата около всеки връх и се записва {4,3}.

Правилен четиримерен многостен с r {p,q} правилни многоъгълни стени около всеки ръб се записва {p,q,r}. Например, тесеракт се означава с {4,3,3} и има 3 куба {4,3} около всеки ръб.

Като цяло правилният многостен {p,q,r,...,y,z} има z {p,q,r,...,y} фасети около всяка страна, като страна е: връх в тримерен многостен, ръб в четиримерен многостен, стена в 5-мерен многостен и (n-3)-фасета в n-мерен многостен.

Примери

Размерност на пространството	Символ на Шлефли	Многостен
$1$	$\{\}$	Отсечка
$2$	$\{3\}$	Правилен триъгълник
$2$	$\{4\}$	Правилен четириъгълник
$2$	$\{5\}$	Правилен петоъгълник
$2$	$\{6\}$	Правилен шестоъгълник
$2$	$\{n\}$	Правилен n-ъгълник
$3$	$\{3,3\}$	Правилен тетраедър
$3$	$\{4,3\}$	Куб
$3$	$\{3,4\}$	Октаедър
$3$	$\{3,5\}$	Правилен икосаедър
$3$	$\{5,3\}$	Правилен додекаедър
$4$	$\{3,3,3\}$	Петоклетъчник
$4$	$\{4,3,3\}$	Тесеракт
$4$	$\{3,3,4\}$	Шестнадесетоклетъчник
$4$	$\{3,4,3\}$	Двадесетичетириклетъчник
$4$	$\{5,3,3\}$	Стоидвадесетоклетъчник
$4$	$\{3,3,5\}$	Шестстотиноклетъчник
$\ge 5$	$\{3,...,3\}$	Симплекс
$\ge 5$	$\{3,...,3,4\}$	Хипероктаедър
$\ge 5$	$\{4,3,...,3\}$	Хиперкуб

Правилни изпъкнали и звездовидни многоъгълници с 3 до 12 върха, обозначени със своите символи на Шлефли. Квадратът е завъртян за по-добра естетика.

Вижте също

• Списък на правилни многомерни многостени и съединения
• Ойлерова характеристика
• Платоново тяло
• Формула на Шлефли

Литература

• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯШаблон:Webarchive