Телеграфни уравнения

Телеграфните уравнения са двойка линейни диференциални уравнения, които описват напрежението и тока на електропреносна линия във времето и по дължината на линията (пространството). Уравненията са съставени от Оливър Хевисайд, който разработва и модела на преносната линия. Теорията е приложима за високочестотните (вълноводни) линии (като телеграфни и радиочестотни линии), но също е важна и при проектиране на високоволтовите електропроводи за пренасяне на електроенергия. Моделът демонстрира разпространението и отражението на електромагнитни вълни в линията и появата на определени вълнови структури по дължината.

Хомогенна линия

Фиг.1 - Заместваща схема на елемент от електропроводна линия dx

За хомогенна електропроводна линия телеграфните уравнения имат следния вид:

$\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}-L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}-(L^{\prime }{G}^{\prime }+R^{\prime }{C}^{\prime })\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-R^{\prime }{G}^{\prime }u(x,t)=0$

$\frac{{\partial }^{2}i(x,t)}{\partial x^2}-L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\partial }^{2}i(x,t)}{\partial t^2}-(L^{\prime }{G}^{\prime }+R^{\prime }{C}^{\prime })\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}-R^{\prime }{G}^{\prime }i(x,t)=0$

Ще се разгледат процесите свързани с единичен хомогенен проводник провеждащ електрически ток и имащ електрически потенциал спрямо земята. Поради омичното съпровтивление на проводника по протежението, на който тече променлив електрически ток, възниква пад на напрежение. Освен това електрическият ток е свързан с променливо магнитно поле, което от своя страна индуцира в проводника електродвижещо напрежение. Поради тези причини напрежението по протежение на проводника не е постоянно. При високи напрежения съответно високи честоти не може да се пренебрегнат, както токът на отместване в диелектрика (токът на електрическата индукция), така и токът дължащ се на макар и малката електрическа проводимост на диелектрика (несъвършена изолация, омични загуби в диелектрика). Откъдето и токът по протежение на линията променя своята стойност. За определяне на изменението на напрежението и тока по дължината на проводника се изхожда от малък елемент от него с дължина dx и се сумират въздействията на всички такива елементи. При това се приема, че съпротивлението, индуктивността, капацитета и проводимостта на проводника са равномерно разпределени по дължината му. На единица дължина се пада винаги едно и също съпротивление $R^{\prime }$, една и съща индуктивност $L^{\prime }$, един и същи капацитет $C^{\prime }$ и една и съща проводимост $G^{\prime }$. Това е трудно изпълнимо на практика, особено при електропреносните линии, поради използването на изолатори в различни точки по дължината на линията, на които се окачват проводниците и поради провеса на последните и неговото изменение с дължината. Проводник, който изпълнява горните допускания със задоволителна за практиката точност се приема за хомогенен. Върху проводников елемент на един хомогенен проводник с дължина $dx$, се падат съпротивление $R^{\prime }dx$, индуктивност $L^{\prime }dx$, капацитет $C^{\prime }dx$ и проводимост $G^{\prime }dx$ показани на фиг. 1.

За представената по-горе схема от законите на Кирхоф следва:

$-u+R^{\prime }dxi+L^{\prime }dx\frac{\partial i}{\partial t}+u+\frac{\partial u}{\partial x}dx=0$

$i=C^{\prime }dx\frac{\partial }{\partial t}(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx)+(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx)G^{\prime }dx+i+\frac{\partial i}{\partial x}dx$

След разкриване на скобите, разделяне на $dx$ и пренебрегване на членовете от висок ред се получава:

$-\frac{\partial u}{\partial x}=R^{\prime }i+L^{\prime }\frac{\partial i}{\partial t}$

$-\frac{\partial i}{\partial x}=G^{\prime }u+C^{\prime }\frac{\partial u}{\partial t}$

При по-нататъшно диференциране на горните две уравнение (първото по $x$, второто по $t$) се получава:

$-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=R^{\prime }\frac{\partial i}{\partial x}+L^{\prime }\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial i}{\partial t}\right)$

$-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial i}{\partial x}\right)=G^{\prime }\frac{\partial u}{\partial t}+C^{\prime }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$

След замествания в горните уранения се получават телеграфните уранения:

$\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}-L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}-(L^{\prime }{G}^{\prime }+R^{\prime }{C}^{\prime })\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}-R^{\prime }{G}^{\prime }u(x,t)=0$

$\frac{{\partial }^{2}i(x,t)}{\partial x^2}-L^{\prime }{C}^{\prime }\frac{{\partial }^{2}i(x,t)}{\partial t^2}-(L^{\prime }{G}^{\prime }+R^{\prime }{C}^{\prime })\frac{\partial i(x,t)}{\partial t}-R^{\prime }{G}^{\prime }i(x,t)=0$

Уравнения при синусоидални напрежение и ток. Решение

Когато напрежението и тока на линията са синусоидални функции във времето, то те могат да се представят с комплексни моментни стойности:

$\underset{\_}{u}=\sqrt{2}\underset{\_}{U_x}{e}^{j\omega t}$

$\underset{\_}{i}=\sqrt{2}\underset{\_}{I_x}{e}^{j\omega t}$,

където подчертаването изразява комплексен вид (може и с точка над величината), $j=\sqrt{-1}$, a $\omega$ кръговата честота на синусоидалните величини. Две от ураненията представени по-горе се записват в комплексен вид:

$-\frac{\partial \underset{\_}{U_x}}{\partial x}=(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })\underset{\_}{I_x}=\underset{\_}{Z^{\prime }}\underset{\_}{I_x}$

$-\frac{\partial \underset{\_}{I_x}}{\partial x}=(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })\underset{\_}{U_x}=\underset{\_}{Y^{\prime }}\underset{\_}{U_x}$

След диференциране по $x$ се получава:

$-\frac{{\partial }^2\underset{\_}{U_x}}{\partial x^2}=\underset{\_}{Z^{\prime }}\frac{\partial \underset{\_}{I_x}}{\partial x}$

или

$\frac{{\partial }^2\underset{\_}{U_x}}{\partial x^2}=\underset{\_}{Z^{\prime }}\underset{\_}{Y^{\prime }}\underset{\_}{U_x}={\gamma }^2\underset{\_}{U_x}$

$\gamma =\sqrt{\underset{\_}{Z^{\prime }}\underset{\_}{Y^{\prime }}}=\alpha +j\cdot \beta$

Величината $\gamma$ се нарича константа на разпространение. Решението на уравнението $\frac{{\partial }^2\underset{\_}{U_x}}{\partial x^2}={\gamma }^2\underset{\_}{U_x}$ е:

$\underset{\_}{U_x}=\underset{\_}{U_1}{e}^{-\gamma x}+\underset{\_}{U_2}{e}^{\gamma x}$

За тока се получава:

$\underset{\_}{I_x}=-\frac{1}{Z^{\prime }}\frac{\partial \underset{\_}{U_x}}{\partial x}$

или

$\underset{\_}{I_x}=\frac{\gamma }{\underset{\_}{Z^{\prime }}}\underset{\_}{U_1}{e}^{-\gamma x}-\frac{\gamma }{\underset{\_}{Z^{\prime }}}\underset{\_}{U_2}{e}^{\gamma x}$

Въвежда се величината:

$\underset{\_}{Z_w}=\frac{{\underset{\_}{Z}}^{\prime }}{\gamma }=\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{\sqrt{(R^{\prime }+j\omega L^{\prime })(G^{\prime }+j\omega C^{\prime })}}=\sqrt{\frac{R^{\prime }+j\omega L^{\prime }}{G^{\prime }+j\omega C^{\prime }}}$

Така за тока се получава:

$\underset{\_}{I_x}=\frac{\underset{\_}{U_1}}{\underset{\_}{Z_w}}{e}^{-\gamma x}-\frac{\underset{\_}{U_2}}{\underset{\_}{Z_w}}{e}^{\gamma x}$

Величината $\underset{\_}{Z_w}$ има размерност на съпротивление и се нарича вълново съпротивление на линията.

Нека в началото на проводника (x=0) напрежението и тока са съотетно $\underset{\_}{U_0}$ и $\underset{\_}{I_0}$, тогава за тока и напрежението в произволна точка x по дължината на линията се получава:

$\underset{\_}{U_x}=\underset{\_}{U_0}\cosh \gamma x-\underset{\_}{Z_w}\underset{\_}{I_0}\sinh \gamma x$

$\underset{\_}{I_x}=\underset{\_}{I_0}\cosh \gamma x-\frac{\underset{\_}{U_0}}{\underset{\_}{Z_w}}\sinh \gamma x$

Относно $\underset{\_}{U_0}$ и $\underset{\_}{I_0}$ решенията са:

$\underset{\_}{U_0}=\underset{\_}{U_x}\cosh \gamma x+\underset{\_}{Z_w}\underset{\_}{I_x}\sinh \gamma x$

$\underset{\_}{I_0}=\underset{\_}{I_x}\cosh \gamma x+\frac{\underset{\_}{U_x}}{\underset{\_}{Z_w}}\sinh \gamma x$

Ако са дадени напрежението и тока на края на линията, съответно $\underset{\_}{U_a}$ и $\underset{\_}{I_a}$, то уравненията са:

$\underset{\_}{U_x}=\underset{\_}{U_a}\cosh \gamma x+\underset{\_}{Z_w}\underset{\_}{I_a}\sinh \gamma x$

$\underset{\_}{I_x}=\underset{\_}{I_a}\cosh \gamma x+\frac{\underset{\_}{U_a}}{\underset{\_}{Z_w}}\sinh \gamma x$

Видове електропреносни линии

1) Линия без загуби

$R^{\prime }=0,G^{\prime }=0$

Вълнов импеданс

$Z_w=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}},[\mathrm{\Omega }]$

Константа на разпространение (равна на фазовата константа $j\beta$)

$\gamma =j\beta =j\omega \sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }},\alpha =0$

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

$V_p=\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{1}{\sqrt{\mu ϵ}},[m/s]$

2) Линия без деформации

Към този клас могат да се определят електропроводните линии за пренасяне на електроенергия. При тези линии се приема, че импеданса $Z_w$ и константата на затихване $\alpha$ на линията (параметрите на линията) не зависят от честотата, т.е. електромагнитната вълна се разпространява без изкривявания (деформации).

За такава линия е в сила следната зависимост:

$\frac{R^{\prime }}{L^{\prime }}=\frac{G^{\prime }}{C^{\prime }}$

Вълнов импеданс

$Z_w=\sqrt{\frac{L^{\prime }}{C^{\prime }}},[\mathrm{\Omega }]$

Константа на разпространение

$\gamma =\alpha +j\beta =R^{\prime }\sqrt{\frac{C^{\prime }}{L^{\prime }}}+j\omega \sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}$

Скорост на разпространение на електромагнитната вълна по линията

$V_p=\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{\sqrt{L^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{1}{\sqrt{\mu ϵ}},[m/s]$

Обща форма на телеграфното уравнение

Телеграфното уравнение (независимо от разглежданите величини) е частно диференциално уравнение (при $C_2>0$ хиперболично, при $C_2<0$ елиптично и при $C_2=0$ параболично) и има следния най-общ вид:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=C_2\frac{{\partial }^2\overrightarrow{F}}{\partial t^2}+C_1\frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial t}+C_0\overrightarrow{F}$.

В тази си форма то представя редица явления от физиката описвани с подобни уравнения (по специални случаи на телграфното уравнение: Вълново уравнение, Дифузно уравнение, Уравнение на Хелмхолц, Потенциално уравнение) и се използва най-общо в много задачи от физиката и инженерни изчисления.

Източници

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book