Таблични интеграли

Шаблон:Без източници Интегрирането е едно от двете основни действия в математическия анализ. Докато при диференцирането има лесни правила за намиране на производни на сложни функции чрез диференциране поотделно на простите компоненти на функцията, то при интегрирането не е така и се налага честото използване на вече решени и познати интеграли, които се наричат таблични интеграли. Тъждествата, поместени в тази статия, могат, без допълнителни доказателства, да се използват при решаването на задачи.

Правила при интегриране

Ако една функция е интегригуема, в сила са съответните правила:

$\int af(x)dx=a\int f(x)dx+C\text{(}a\ne 0\text{, const)}$

$\int \sum _{i=1}^n{a}_i{f}_i(x)dx=\sum _{i=1}^n{a}_i\int f_i(x)dx=\sum _{i=1}^n{a}_i{F}_i(x)$

$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$

$\int f^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)dx+C$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$

$\int f^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{1}{2}[f(x){]}^2+C$

$\int [f(x){]}^n{f}^{\prime }(x)dx=\frac{[f(x){]}^{n+1}}{n+1}+C\text{(for }n\ne -1\text{)}$

Интеграли на прости функции

Рационални функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на рационални функции

$\int \mathrm{d}x=x+C$

$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{ if }n\ne -1$

$\int \frac{dx}{x}=\ln \left|x\right|+C$

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$

Ирационални функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на ирационални функции

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arccos \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}\frac{|x|}{a}+C$

Логаритми

Още интеграли: Таблица с интеграли на логаритмични функции

$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$

$\int {\log }_{b}xdx=x{\log }_{b}x-x{\log }_{b}e+C$

Експоненциални функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на експоненциални функции

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Тригонометрични функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на тригонометрични функции и Списък на интеграли на обратни тригонометрични функции

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$

Хиперболични функции

Още интеграли: Таблица с интеграли на хиперболични функции

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln |\cosh x|+C$

$\int \text{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C$

$\int \text{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\text{sech}}^{2}xdx=\tanh x+C$

Обратни хиперболични функции

$\int \mathrm{arcsinh}xdx=x\mathrm{arcsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int \mathrm{arccosh}xdx=x\mathrm{arccosh}x-\sqrt{x^2-1}+C$

$\int \mathrm{arctanh}xdx=x\mathrm{arctanh}x+\frac{1}{2}\log (1-x^2)+C$

$\int \mathrm{arccsch}xdx=x\mathrm{arccsch}x+\log \left[x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)\right]+C$

$\int \mathrm{arcsech}xdx=x\mathrm{arcsech}x-\arctan \left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)+C$

$\int \mathrm{arccoth}xdx=x\mathrm{arccoth}x+\frac{1}{2}\log (x^2-1)+C$