Таблица с интеграли на експоненциални функции

Следващият списък съдържа интегралите на експоненциални функции. За интегралите на други функции, виж Таблични интеграли.

Неопределени интеграли

Само експоненти

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ (в процеса на интегриране $a^x$ се полага с $e^{x\ln a}$)

$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$

$\int \sqrt{x}{e}^{ax}=\frac{1}{a}{e}^{ax}+\frac{i\sqrt{\pi }}{2a^{3/2}}erf(i\sqrt{ax})+C,erf(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$

$\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C$

$\int x{e}^{ax}dx=(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2})e^{ax}+C$

$\int \frac{1}{a+b{e}^{nx}}dx=\frac{1}{an}[nx-\ln a+b{e}^{nx}]+C$

$\int \frac{1}{1+e^x}dx=\ln \frac{e^x}{1+e^x}=\ln (1+e^x)+C$

$\int \frac{1}{a{e}^{nx}+b{e}^{-nx}}dx=\frac{1}{n\sqrt{ab}}\arctan e^{nx}\sqrt{\frac{a}{b}}+C,ab>0$

$=\frac{1}{2m\sqrt{ab}}\ln \left|\frac{b+e^{mx}\sqrt{-ab}}{b-e^{mx}\sqrt{-ab}}\right|+C,ab<0$

$\int \frac{1}{\sqrt{a+b{e}^{nx}}}=\frac{1}{n\sqrt{a}}\ln \frac{\sqrt{a+b{e}^{nx}}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+b{e}^{nx}}+\sqrt{a}}+C,a>0$

$=\frac{2}{n\sqrt{a}}\arctan \frac{\sqrt{a+b{e}^{nx}}}{\sqrt{-a}}+C,a<0$

$\int \exp (a^x)dx=\frac{Ei(a^x)}{\ln a}+C$

С рационални функции

$\int x{e}^{ax}dx=e^{ax}(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2})$

$\int x^2{e}^{x}dx=e^x(x^2-2x+2)+C$

$\int x^2{e}^{ax}dx=e^{ax}(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3})+C$

$\int x^3{e}^{ax}dx=e^{ax}(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2}+\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4})+C$

$\int x^3{e}^{x}dx=e^x(x^3-3x^2+6x-6)+C$

$\int x^4{e}^{ax}dx=e^{ax}(\frac{X^4}{a}-\frac{4x^3}{a^2}+\frac{12x^2}{a^3}-\frac{24x}{a^4}+\frac{24}{a^5})+C$

$\int x^n{e}^{ax}dx=\frac{x^n{e}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}{e}^{ax}dx,a\ne 0$

$=(-1{)}^n\frac{1}{a}\mathrm{\Gamma }[1+n,-ax]+C,\mathrm{\Gamma }(a,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{a-1}{e}^{-t}dt$

$=e^{ax}\left(\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^{k}k!(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}{a^{k+1}}{x}^{n-k}\right)$

$\int e^{a{x}^2}dx=-i\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{a}}erf(ix\sqrt{a})+C$

$\int P_n(x)e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}\sum {k=0}^n(-1{)}^k\frac{P^{(k)}(x)}{a^k}+C$, където P_n(x) е полином от n-та степен, а P^(k)(x) е k-тата производна на многочлена.