Съседен клас

Шаблон:Без източници В теория на групите, левите/десни съседни класове на група $G$ по дадена подгрупа $H$, представляват съвкупности от множества, получени чрез умножаване (или събиране, ако записът е адитивен) отляво/отдясно на елементите от групата с всички елементи на подгрупата. Ако левите съседни класове съвпадат със съответните десни съседни класове за всеки елемент на групата, то подгрупата $H$ се нарича нормална подгрупа на $G$.

Формално определение

Нека $G$ е група с мултипликативен запис на операцията, $H\le G$ е нейна подгрупа и е даден елемент $g\in G$. Множеството $gH=\{gh|h\in H\}$ се нарича ляв съседен клас на $G$ по $H$. Множеството $Hg=\{hg|h\in H\}$ е десен съседен клас на $G$ по $H$.

Свойства

Всеки елемент на групата принадлежи на някой ляв/десен съседен клас.

Един елемент $g\in G$ принадлежи на дадена подгрупа $H\le G$, когато $gH$ и $Hg$ съвпадат с $H$, т.е. $g\in H⟺gH=H=Hg$.

Всеки два различни леви/десни съседни класа нямат общи елементи. Ако два леви/десни съседни класа притежават общ елемент, то те съвпадат.

Всяка крайна група (група с краен брой елементи) има еднакъв брой леви и десни съседни класове по дадена подгрупа. Ред на крайна група $|G|$ е броя на елементите на $G$

Ако подгрупата, по-която се формират съседните класове, е крайна, то броят на елементите в подгрупата е равен на броя на елементите в съседния ляв/десен клас $|H|=|gH|=|Hg|$.

Единствено $eH=H=He$ е ляв/десен съседен клас, който е подгрупа на $G$, където с $e$ отбелязваме единичния елемент на $G$.

Теорема на Лагранж

Нека $G$ е крайна група и $H$ е нейна подгрупа. Индекс $|G:H|$ на $H$ в $G$, е броят на левите (десни) съседни класове на $G$ по $H$.

Теорема: $|G|=|H||G:H|$.

Теоремата е наречена на Лагранж — един от пионерите на теория на групите. Първото доказателство е на Абати от 1803.