Формули за съкратено умножение

Шаблон:Без източници Формулите за съкратено умножение обобщават често срещаните случаи за умножение на многочлени. Голяма част от тях са като частен случай на Нютоновия бином. Изучават се в началната алгебра.

Формули за втора степен

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Формули за трета степен

• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$
• $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$

Формули за четвърта степен

• $(a\pm b{)}^4=a^4\pm 4a^{3}b+6a^2{b}^2\pm 4a{b}^3+b^4$

Формули за n-та степен

• $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}{b}^2+\mathrm{...}+a^2{b}^{n-3}+a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
• $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}{b}^2-\mathrm{...}-a^2{b}^{2n-3}+a{b}^{2n-2}-b^{2n-1})$, където $n\in N$
• $a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}{b}^2-\mathrm{...}+a^2{b}^{2n-2}-a{b}^{2n-1}+b^{2n})$, където $n\in N$
• $(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$, където $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Някои свойства на формулите

• $(a-b{)}^{2n}=(b-a{)}^{2n}$, където $n\in N$
• $(a-b{)}^{2n+1}=-(b-a{)}^{2n+1}$, където $n\in N$

Други формули

• $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (извежда се от $a^2-b^2$)
• $1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3=(1+2+\mathrm{...}+n{)}^2$

Вижте също

• Полином
• Нютонов бином