Ротация на Гивънс

В линейната алгебра ротацията на Гивънс е ротация в равнина, зададена с две координатни оси. Ротацията на Гивънс е въведена като операция в линейната алгебра от Уолъс Гивънс (Wallace Givens) през 1950 г.

Матрично представяне

Ротацията на Гивънс се представя с матрица от следния вид

$G(i,j,\theta )=\left[\begin{array}{ccccccc}1& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & c& \cdots & -s& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & s& \cdots & c& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮& & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 1\end{array}\right],$

където Шаблон:Math and Шаблон:Math са позиционирани съответно в i-тият и j-ти редове и колони на матрицата. Така различните от нула елементи g на матрицата на Гивънс се дават както следва:

$\begin{array}{cc}{g}_{kk}& =1\text{за}k\ne i,j\\ g_{ii}& =c\\ g_{jj}& =c\\ g_{ji}& =-s\\ g_{ij}& =s\text{за}i>j.\end{array}$ (за j > i s трябва да бъде с обратен знак)

Умножаването на вектор по матрицата на Гивънс Шаблон:Math има като резултат ротацията на вектора Шаблон:Math в координатната равнина Шаблон:Math на ъгъл  θ радиана.

Основното приложение на матрицата на Гивънс в линейната алгебра е получаването на нулеви стойности на елементи на зададен вектор или матрица. Пример за линейна трансформация, която може да се извърши чрез ротации на Гивънс е QR декомпозицията на матрици. Предимство на ротациите на Гивънс пред трансформацията на Хаусхолдер (която също може да се използва за тази декомпозиция) е възможността за паралелно изпълнение на ротациите, а също и намаляването на броя на операциите при „разредени“ матрици (т.е. с голям брой елементи с нулеви стойности).

Литература

• Шаблон:Cite book. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, 31 януари 2001.
• Шаблон:Cite book Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• Константинов М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици, С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000 г. 300 с.