Трансформация на Хаусхолдер

Трансформацията на Хаусхолдер е линейно преобразование $H_{u}$ на векторното пространство $V$ , което представя отражението му спрямо хиперравнина, която преминава през началото на координатната система.

Предложено е в 1958 г. от американския математик Алстон Скот Хаусхолдер (Alston Scott Householder).

Дефиниции

Операторът на Хаусхолдер се задава с израза

H_{u} (x) = x - 2 ⟨ x, u ⟩ u

където:

u е нормален вектор към хиперравнина, която преминава през началото на координатната система
с $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ е обозначено скаларното произведение в $V$

Матрицата на отражение на Хаусхолдер има вида:

H = I - 2 u u^{†}

Матрицата на Хаусхолдер е унитарна ермитова матрица: $H = H^{†} .$ В частност, ако елементите на матрицата са реални числа, матрицата на Хаусхолдер е ортогонална матрица $H^{- 1} = H^{T}$ .
Матрицата на Хаусхолдер е инволюция: $H^{2} = I$ .
Трансформацията $H_{u} (x)$ изобразява зададен вектор $x$ във вектор $x - 2 ⟨ u, x ⟩ u .$
Трансформацията на Хаусхолдер има една собствена стойност равна на (-1), която съответства на собствен вектор $u,$ , всички други собствени стойности са равни на (+1).
Детерминантата на матрицата на Хаусхолдер е равна на (-1).

Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339 – 342. DOI:10.1145/320941.320947
Константинов М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици, С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000 г. 300 с.