Матрица (математика)

Означение на елементите в матрица m × n

Матриците са основен елемент от линейната алгебра. В математиката, матрица представлява правоъгълна таблица от величини, най-често числа (числова матрица), наричани елементи на матрицата. Елементи на матрица могат да са числа, вектори, функции или други математически обекти. Те могат да бъдат от произволно поле (например ${ℝ}^n$ или ${ℂ}^2$) или пръстен. Матриците и матричната алгебра са основни в линейната алгебра. Те се използват за решаване на линейни системи, линейни преобразувания и собствени стойности. Матрица от тип m × n над поле F се нарича матрица, елементите на която са от полето F и има m реда и n стълба:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

Множеството от матриците над поле F от тип m × n им може да се запише като F_mxn.

Пример за матрица 4 × 3 над полето на реалните числа: $$\left[\begin{array}{ccc}0& -2& 7\\ 15& 1& -0,14\\ 3& 5& 6\\ \pi & -7& 0\end{array}\right]$$

Математическа нотация

Обикновено матриците се отбелязват с главни латински букви – например A, а елементите на матрицата се записват със съответната малка или главна буква – a_ik или A_ik, като първият индекс показва номера на реда, а вторият – номера на стълба, на който се намира елементът в матрицата. Освен скоби от вида [ ], е възможно изписване с ( ) и $\parallel \parallel$

Елементи на матриците

В една квадратна матрица от ред n, елементите с равни индекси (a_ii, i=1.. n) образуват главния ѝ диагонал:

$$a_{ii},i=1..n$$

Елементите, сборът от индексите на които е равен на n+1 (a_ij, i=1.. n, j=n..1), образуват страничния диагонал:

$$a_{1n},a_{2n-1},..,a_{n1}$$

Видове матрици

Най-често се използват матрици с елементи от полето $ℝ$ и $ℂ$. В първия случай матрицата се нарича реална, а във втория – комплексна.

• нулева матрица (0) – матрица, при която всички елементи са нули:

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

• квадратна матрица – матрица с равен брой на редове и колони:

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

• правоъгълна матрица – матрица с различен брой редове и колони:

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]$$

• триъгълна матрица – квадратна матрица, при която елементите под или над главния диагонал са нули, съответно горна или долна триъгълна матрица:

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 7\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 5,3\end{array}\right]$$

• диагонална матрица – квадратна матрица, чиито елементи, неучастващи в главния диагонал, са нули:

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right],i\ne j\Rightarrow a_{ij}=0$$

• скаларна матрица – диагонална матрица, елементите от главния диагонал на която са равни:

$$\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$$

• единична матрица (E) – скаларна матрица с елементи от главния диагонал равни на единица:

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• еднакви матрици – когато $a_{ik}=b_{ik}$, тоест съответните им елементи са равни.
• симетрична матрица – квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=a_{ji},\mathrm{\forall }i,j$:

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 6& 7\\ 6& 2& 8\\ 7& 8& 3\end{array}\right]$$

• антисиметрична матрица – квадратна матрица $A(a_{ij})$, за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ji},\mathrm{\forall }i,j$:

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 5& 1\\ -5& 0& 7\\ -1& -7& 0\end{array}\right]$$

Елементарни преобразувания с матрици

• смяна на местата на два реда:

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\\ e& f\end{array}\right]$$

• прибявяне на един ред на матрица към друг:

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}a+d& b+e& c+f\\ d& e& f\end{array}\right]$$

• умножаване на ред на матрицата с число различно от 0:

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\\ e& f\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}a& b\\ \lambda c& \lambda d\\ e& f\end{array}\right],\lambda \ne 0$$

Основни операции с матрици

Транспониране

Транспонирането е унарна операция. Транспонирата матрица се бележи с A^T и се получава, като в матрицата A редовете се запишат като стълбовете, т.е. а^T_ij = а_ji. Пример:

$$A_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\\ 10& 11& 12\end{array}\right],A_{n\times m}^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 7& 10\\ 2& 5& 8& 11\\ 3& 6& 9& 12\end{array}\right]$$

Събиране

Събират се само матрици от един и същи ред. Елементите на новополучената матрица (сбора), са равни на сбора на съответните елементи от събираните матрици:

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2,7& 0\\ 3& 1& x\\ \pi & 2,4& x\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2,5& 3,3& 0\\ 2& 1& 2x\\ 4& 2,4& y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3,5& 6& 0\\ 5& 2& 3x\\ 4+\pi & 4,8& x+y\end{array}\right]$$

Свойства:

• комутативност: $𝖠\mathsf{+}𝖡\mathsf{=}𝖡\mathsf{+}𝖠$
• асоциативност: $𝖠\mathsf{+}\mathsf{(}𝖡\mathsf{+}𝖢\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{(}𝖠\mathsf{+}𝖡\mathsf{)}\mathsf{+}𝖢$
• дистрибутивност: $\mathsf{(}𝖼\mathsf{+}𝖽\mathsf{)}𝖠\mathsf{=}𝖼𝖠\mathsf{+}𝖽𝖠$, $𝖼\mathsf{(}𝖠\mathsf{+}𝖡\mathsf{)}\mathsf{=}𝖼𝖠\mathsf{+}𝖼𝖡$
• неутралност на нулевата матрица: $𝖠\mathsf{+}\mathrm{𝟢}\mathsf{=}\mathrm{𝟢}\mathsf{+}𝖠\mathsf{=}𝖠\mathrm{\forall }𝖠$
• $𝖠\mathsf{+}𝖢\mathsf{=}𝖡\mathsf{+}𝖢$, където A и B са еднакви матрици
• противоположната матрица на матрицата А означаваме с –А, за която е в сила $𝖠\mathsf{+}\mathsf{(}\mathsf{-}𝖠\mathsf{)}\mathsf{=}\mathrm{𝟢}$
• разликата на матриците А и В е матрицата $𝖢\mathsf{=}𝖠\mathsf{+}𝖡$, като към А прибавим противоположната матрица на В, тоест $𝖠\mathsf{-}𝖡\mathsf{=}𝖠\mathsf{+}\mathsf{(}\mathsf{-}𝖡\mathsf{)}$:

$$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 0& 5& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 7& 5\end{array}\right]$$

Умножение на матрица с число (скалар)

Всеки елемент на матрицата се умножава с числото:

$$\lambda A=\left[\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right]$$

Свойства:

• $\mathrm{𝟣}𝖠\mathsf{=}𝖠$
• ако $𝖼,𝖽\mathsf{\in }ℝ$, то $𝖼\mathsf{(}𝖽𝖠\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{(}𝖼𝖽\mathsf{)}𝖠$
• ако А и В са еднакви матрици, то $𝑘𝖠\mathsf{=}𝑘𝖡$

Умножение на матрици

Умножението на матриците A и B е дефинирано само когато A е съгласувана с B, т.е., когато броят на стълбовете на A е равен на броя на редовете на B. Произведението C_{m x p} на A_{m x n} и B_{n x p} се дефинира с равенството:

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+...+a_{in}{b}_{nj}$$.

Тоест всеки ред на матрицата A се умножава последователно с всеки от стълбовете на B, като всяко от тези произведения дава един елемент от реда на матрицата C с номер, съвпадащ с този на A. Първият ред на A, умножен с всички стълбове на B, дава всички елементи от първия ред на C и т.н. Пример:

$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& -2\\ 4& 1\end{array}\right].\left[\begin{array}{cc}7& 9\\ 5& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1*7+3*5& 1*9+3*2\\ 0*7+(-2)*5& 0*9+(-2)*2\\ 4*7+1*5& 4*9+1*2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}22& 15\\ -10& -4\\ 33& 38\end{array}\right]$$

Свойства:

• две квадратни матрици могат да бъдат умножени само ако са от един и същи ред
• комуникативност – не е в сила за произволни матрици
• асоциативност: $𝖠\mathsf{(}𝖡𝖢\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{(}𝖠𝖡\mathsf{)}𝖢$
• дистрибутивност: $𝖠\mathsf{(}𝖡\mathsf{+}𝖢\mathsf{)}\mathsf{=}𝖠𝖢\mathsf{+}𝖡𝖢$

Ранг

При дадена произволна матрица $𝖠$ с размерност $m\times n$ можем да разгледаме нейните редове като n-мерни вектори:

$a_1=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right]$

$a_2=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\end{array}\right]$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$

$a_m=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$,

а колоните ѝ – като m-мерни вектори:

$a^1=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{m1}\end{array}\right]$, $a^2=\left[\begin{array}{c}{a}_{21}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{m2}\end{array}\right]$ $\cdots$ $a^n=\left[\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ a_{2n}\\ ⋮\\ a_{mn}\end{array}\right]$.

Размерността $r_x$ на подпространоството (в повечето случаи подпоространство на ${ℝ}^n$ или ${ℂ}^n$) ${𝑉}_x$ се нарича хоризонтален, или ред-ранг на матрицата $|A{|}_{mn}$, а размерността $r_b$ на подпространостното ${𝑉}_b$ – вертикален, или стълб-ранг на матрицата.

Детерминанта

Детерминантата е свойство на всяка квадратна матрица, при което тя може да се съпостави на едно число |A|:

$\mathsf{|}𝖠\mathsf{|}={\mathrm{\Delta }}_0=\sum (-1{)}^{𝐼}{a}_1{k}_1.a_2{k}_2\dots a_n{k}_n{\displaystyle }$,

където сумата е по всички пермутации (k₁k₂ … k_n) на числата 1,2,…,n и I е броят на инверсиите в съответната пермутация. Инверсия в пермутация – $k_i>k_j$, при $i<j$.

В сила е нотацията $\mathsf{|}𝖠\mathsf{|}=det[A]={\mathrm{\Delta }}_0$.

Ако детерминантата на матрицата е различна от 0 (редовете ѝ са линейно независими), матрицата е линейно преобразувание. Нейно харктеристично уравнение е ${𝖠}^{\mathrm{𝟤}}:=𝖠𝖠$

Пресмятане на детерминанта

За детерминанта от първи ред: $$\det \left[\begin{array}{c}a\end{array}\right]=a$$

За детерминанта от втори ред: $$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$$

За детерминанта от трети ред: $$\det \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg$$

В останалите случаи, най-често свеждаме матрицата до горно или долно триъгълна чрез елементарни преобразувания (умножение на ред или стълб с дадено число и прибавяне на реда към друг ред (или прибавяне на стълб към друг стълб)).

$$\det \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \cdots & \cdots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}.$$

Детерминанта от n-ти ред се пресмята чрез развитие по ред или по стълб – една матрица от n-ти ред се получават n детерминати от (n-1)-ви ред.

Външни препратки

• Шаблон:Икона Статия „Матрица“ в Wolfram MathWorld