Радиус на Шварцшилд

Радиусът на Шварцшилд или гравитационен радиус е термин от астрофизиката, характеризиращ всяко физическо тяло, което има маса. Представлява радиусът на такава сфера, че ако всичката маса на даден обект се компресира в тази сфера, втората космическа скорост на повърхността ѝ би била равна на скоростта на светлината. Ако компактна звезда колапсира до или под този радиус, светлината не би могла да излезе от обекта и вече не би била видима отвън, така образувайки черна дупка. Това е характерен радиус, свързан с всяко количество маса. Наречен на името на немския учен Карл Шварцшилд, който първи го е изчислил в рамките на Общата теория на относителността.

Радиусът на Шварцшилд се извежда от формулата

$r_s=\frac{2GM}{c^2}$

където G е гравитационната константа, M е масата на обекта, а c е скоростта на светлината.

История

През 1916 г. Карл Шварцшилд намира точното решение на Айнщайновите уравнения на полето за гравитационно поле извън неротационно, сферично симетрично тяло (виж метрика на Шварцшилд). Използвайки определението Шаблон:Math, решението съдържа формата Шаблон:Math, където стойността на $r$, правеща формата сингулярна, е наречена радиус на Шварцшилд. Физическият смисъл на тази сингулярност, както и дали тя може да възниква в природата, е обект на дебати за много години. Общото приемане на възможността на черна дупка се случва едва към втората половина на 20 век.

Параметри

Радиусът на Шварцшилд на даден обект е пропорционален на масата му. Масата на видимата вселена има радиус на Шварцшилд от около 13,7 милиарда светлинни години.

	Радиус на Шварцшилд (m)	Плътност на Шварцшилд (g cm−3)
Млечен път	2.08Шаблон:E (~0.2 ly)	3.72Шаблон:E
Слънце	2.95Шаблон:E	1.84Шаблон:E
Земя	8.87Шаблон:E	2.04Шаблон:E
Sagittarius A*	1.27Шаблон:E
Андромеда	4.68Шаблон:E
NGC 4889	6.2Шаблон:E
Човек (за 70 kg)	5.198Шаблон:E

Други приложения

В гравитационното забавяне на времето

Гравитационното забавяне на времето близо до голямо, ротационно, почти сферично тяло като Земята или Слънцето може да бъде апроксимирано, използвайки радиуса на Шварцшилд така:

$\frac{t_r}{t}=\sqrt{1-\frac{r_{\mathrm{s}}}{r}}$

където:

Шаблон:Var е изминалото време за наблюдател в радиална координата r в гравитационното поле;

Шаблон:Var е изминалото време за далечен наблюдател извън гравитационното поле;

Шаблон:Var е радиалната координата на наблюдателя (разстояние от центъра на обекта);

Шаблон:Math е радиусът на Шварцшилд.

В Нютоновите гравитационни полета

Нютоновото гравитационно поле близо до голямо, ротационно, почти сферично тяло може да бъде апроксимирано, използвайки радиуса на Шварцшилд така:

$mg=\frac{GMm}{r^2}\Rightarrow g{r}^2=GM$

и

$r_{\mathrm{s}}=\frac{2GM}{c^2}\Rightarrow r_{\mathrm{s}}{c}^2=2GM$

Така, разделяйки горните две:

$\frac{g}{r_{\mathrm{s}}}{\left(\frac{r}{c}\right)}^2=\frac{1}{2}$

където:

Шаблон:Var е гравитационното ускорени в радиална координата r;

Шаблон:Math е радиусът на Шварцшилд на обекта;

Шаблон:Var е радиалната координата;

Шаблон:Var е скоростта на светлината във вакуум.

На повърхността на Земята:

$\frac{9.80665\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}{8.870056\mathrm{m}\mathrm{m}}{\left(\frac{6375416\mathrm{m}}{299792458\mathrm{m}/\mathrm{s}}\right)}^2=\left(1105.59{\mathrm{s}}^{-2}\right){\left(0.0212661\mathrm{s}\right)}^2=\frac{1}{2}.$

В Кеплерови орбити

За всички кръгови орбити около даден обект;

$\frac{m{v}^2}{r}=\text{центростремителна сила}=\text{гравитационна сила}=\frac{GMm}{r^2}$

Следователно,

$r{v}^2=GM,$

но

$r_{\mathrm{s}}{c}^2=2GM$ (изведено по-горе)

Следователно,

$\frac{r}{r_{\mathrm{s}}}{\left(\frac{v}{c}\right)}^2=\frac{1}{2}$

където:

Шаблон:Var е радиусът на орбитата;

Шаблон:Math е радиусът на Шварцшилд на обекта;

Шаблон:Var е орбиталната скорост;

Шаблон:Var е скоростта на светлината във вакуум.

Това може да бъде обобщено и за елиптична орбити така:

$\frac{a}{r_{\mathrm{s}}}{\left(\frac{2\pi a}{cT}\right)}^2=\frac{1}{2}$

където:

Шаблон:Var е голямата полуос;

Шаблон:Var е орбиталният период.

За Земята, обикаляща около Слънцето:

$\frac{1\mathrm{A}\mathrm{U}}{2953.25\mathrm{m}}{\left(\frac{2\pi \mathrm{A}\mathrm{U}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}}\right)}^2=\left(50655379.7\right)(9.8714403\times 10^{-9})=\frac{1}{2}.$

Радиус на Шварцшилд за маса на Планк

За масата на Планк $m_{\mathrm{P}}=\sqrt{\hslash c/G}$, радиусът на Шварцшилд $r_{\mathrm{S}}=2l_{\mathrm{P}}$ и Комптъновата дължина на вълната ${\lambda }_{\mathrm{C}}=2\pi l_{\mathrm{P}}$ са от същия порядък, като дължината на Планк $l_{\mathrm{P}}=\sqrt{\hslash G/c^3}$.