Ортодромия

Ортодромията се определя като най-късото разстояние между две точки от голямата окръжност, начертана с червена линия.

Ортодромия е червената линия между точките P и Q от голямата окръжност. Само между противоположните точки u и v на идеална сфера има безкраен брой ортодроми.

Дължина D на ортодромата c ъгъл α e зелената дъга между точките r₁ и r₂ от повърхността на сферата.

Ортодро́мия или ортодро́ма (Шаблон:Lang – „прав“ и δρóμος – „път, курс“) в геометрията е най-късата линия между две точки от повърхността на въртене, частен случай на геодезична линия.

В картографията и навигацията ортодромията е името на най-краткото разстояние между две точки на повърхността на Земята. В навигацията на кораби и самолети, където Земята се приема като сфера, ортодромията е дъга от голямата окръжност. През две точки на земната повърхност, които не са в противоположните краища на същия диаметър на Земята, може да се направи само една ортодрома. Между антиподните точки има безкраен брой ортодроми.

Частни случаи на ортодромии са меридианите и единственият паралел е екваторът. Ортодромата, за разлика от локсодромата, може да пресича меридианите под различни ъгли.

Земята е почти сферична (виж Земен радиус), така че формулите за разстояния с големи кръгове дават правилното разстояние между точките на повърхността на Земята с точност до около 0,5 %.

На картите

В повечето картографски проекции ортодромиите се изобразяват с извити линии (с изключение, може би, на меридианите и екватора). Това е неудобно за полагане на най-кратките маршрути.

В гномоничната проекция всички ортодромии са изобразени с прави линии.

Ортодромията на карти в Меркаторовата проекция, ако не съвпада с меридиана или екватора, е крива, обърната с изпъкналостта към най-близкия полюс.

Изчисляване на ортодромията

Дължината, ъгъла, началният и крайният азимути, географските ширини на междинните точки на ортодромията се изчисляват по следните формули (получени с помощта на съотношенията на сферичната тригонометрия).

Ъгъл на ортодромията: $\alpha =\arccos (\sin {\phi }_1\cdot \sin {\phi }_2+\cos {\phi }_1\cdot \cos {\phi }_2\cdot \cos ({\lambda }_2-{\lambda }_1)).$

Дължина на ортодромата: $D=l\cdot \alpha .$

Начален азимут: ${\beta }_1=\mathrm{arcctg}(\frac{\cos {\phi }_1\mathrm{tg}{\phi }_2}{\sin ({\lambda }_2-{\lambda }_1)}-\frac{\sin {\phi }_1}{\mathrm{tg}({\lambda }_2-{\lambda }_1)}).$

Краен азимут: ${\beta }_2=\mathrm{arcctg}(\frac{\sin {\phi }_2}{\mathrm{tg}({\lambda }_2-{\lambda }_1)}-\frac{\cos {\phi }_2\mathrm{tg}{\phi }_1}{\sin ({\lambda }_2-{\lambda }_1)}).$

Ширина на междинна точка като функция от дължината: $\phi =\mathrm{arctg}(\frac{\mathrm{tg}{\phi }_1\cdot \sin ({\lambda }_2-\lambda )}{\sin ({\lambda }_2-{\lambda }_1)}+\frac{\mathrm{tg}{\phi }_2\cdot \sin (\lambda -{\lambda }_1)}{\sin ({\lambda }_2-{\lambda }_1)}).$

Екваториален (a), полярен (b) и среден радиус на Земята, както е дефиниран в промяната на Световната геодезична система от 1984 г. (не в мащаб).

Означения:

Шаблон:Math – ъгъл на ортодромията,

Шаблон:Math – дължина на ортодромата,

${\phi }_1$ и ${\lambda }_1$ – ширина и дължина на точката на заминаване,

${\phi }_2$ и ${\lambda }_2$ – ширина и дължина на точката на пристигане,

$\phi$ и $\lambda$ – ширина и дължина на междинната точка на ортодромата,

Шаблон:Math – средна дължина на дъга 1° голяма окръжност (меридиан или екватор).

Единична дъга

Единична дъга Шаблон:Math e дъга с дължина на 1° от голяма окръжност (меридиан или екватор). Формата на Земята много прилича на сплескана сфера (сфероид) с екваториален радиус $a$ = 6378,137 km и разстояние от центъра на сфероида до всеки полюс (полярен радиус) $b$ = 6356,7523142 km. Когато се изчислява дължината на къса линия север-юг на екватора, кръгът, който най-добре се приближава към тази линия, има радиус $b^2/a$ (което се равнява на полу-латусния ректум на меридиана) или 6335,439 km. Ако се изчислява тази къса отсечка на полюсите, сфероидът е най-добре приближен до сфера с радиус $a^2/b$, или 6399,594 km, което е 1% разлика. Затова единичната дъга е различна и зависи от географската ширина на точките от ортодромията.

Когато се приема сферична Земя, всяка една формула за разстоянието на Земята е гарантирана правилна само в рамките на 0,5 % (макар че е възможна по-добра точност, ако формулата е предназначена да се прилага само за ограничена площ). Използвайки средния земен радиус $R=\frac{1}{3}(2a+b)\approx 6371,009\mathrm{k}\mathrm{m}$ (за елипсоида WGS84), в границата на малко изравняване средната квадратична относителна грешка в оценките за разстояние е сведена до минимум. Тогава средната дължина на дъга 1° от повърхността на Земята $l=111,111111\mathrm{k}\mathrm{m}$ при идеална сферична форма с постоянен радиус.

Така приведените по-горе формули изчисляват ортодромията без отчитане на полярното свиване при среден радиус на Земята, еднакъв за всички географски ширини. В случай на изчисления в радиани, а не в градуси, Шаблон:Math се заменя с радиуса на Земята (който е равен на дължината на дъга от 1 радиан на повърхността на Земята).

Абсолютно точно изчисление на ортодромията може да се извърши, ако се използва формулата за универсалния радиус на Земята с отчитане на географската ширина $\phi$ в градуси:

$R_y=\frac{1}{3}(2a\frac{90-\phi }{60}+b\frac{\phi }{30})$.

От тук се получава:

• При $\phi =0$°, на екватора $R_0=a$ и единичната дъга е $l=\frac{2\pi R_0}{360}=111,31949$ km.
• На полюсите $\phi =90$° и $R_{90}=b$, а на 1° съответства дъга по голямата окръжност $l=110,9462576$ km.
• Средният радиус на Земята е равен действителния при $\phi =30$° северна и южна ширина $R=R_{30}$.
• За средна географска ширина $\phi =43$° земният радиус е $R_{43}=6367,92$ km, а за 1° ортодромията е $D=l=111,14117$ km.

Вижте също

• Голяма окръжност
• Локсодрома
• Картография
• Морска навигация
• Въздушна навигация

Външни препратки

• Онлайн калкулатор: Проследяване ъглите и разстоянието между две точки на ортодрома