Обратима матрица

Шаблон:Без източници Дадена квадратна матрица $𝐀$ се нарича обратима или още неособена, ако съществува квадратна матрица ${𝐀}^{-1}$ от същия ред, такава че $𝐀.{𝐀}^{-1}={𝐀}^{-1}.𝐀=E_n$, където $E_n$ е единичната матрица. Матрицата $A^{-1}$ се нарича обратна на $A$.

Ефикасен метод за намиране на обратната матрица на дадена матрица е метода с адюнгираните количества. По този метод, аналитичната формула за обратната матрица е:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det 𝐀}{\left({𝐂}_{ij}\right)}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{\det 𝐀}\left({𝐂}_{ji}\right)=\frac{1}{\det 𝐀}\left(\begin{array}{cccc}{𝐂}_{11}& {𝐂}_{21}& \cdots & {𝐂}_{j1}\\ {𝐂}_{12}& {𝐂}_{22}& \cdots & {𝐂}_{j2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {𝐂}_{1i}& {𝐂}_{2i}& \cdots & {𝐂}_{ji}\end{array}\right)$

Където ${𝐂}_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det {𝐀}_{ij}$, а $\det {𝐀}_{ij}$ е детерминантата на матрицата $𝐀$, от която са махнати реда $i$ и колоната $j$.

Свойства на неособените матрици

Нека A е квадратна матрица с n реда и n колони върху дадено поле $K$ (например, полето на реалните числа - $R$). Следните свойства са еквивалентни:

• A е неособена (обратима).
• det A ≠ 0.
• Единственото решение на уравнението Ax = 0 е x = 0
• Уравнението Ax = b има единствено решение за дадено b $\in$$K^n$.
• Колоните на A са линейно независими вектори.
• Колоните на A са базис на $K^n$.
• Линейното зачеване x $\leftarrow$ Ax е биекция от $K^n$ към $K^n$.
• Матрицата, получена с транспониране на A: A^T също е неособена
• Произведението на A с матрицата, получена с транспониране на A (A^T × A) също е неособена
• Нулата не е собствена стойност на A

Обратната на обратима матрица A също е обратима, с

${\left({𝐀}^{-1}\right)}^{-1}=𝐀$.

Обратната на обратима матрица, умножена по ненулева скаларна величинаk е равна на произведението на обратната матрица с обратната стойност на скалара:

${\left(k𝐀\right)}^{-1}=k^{-1}{𝐀}^{-1}$.

За обратима матрица A, транспонираната на обратната е равна на обратната на транспоринарана:

$({𝐀}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=({𝐀}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$

Произведението на две неособени матрици A и B с еднакъв размер е също така обратимо, като обратната на произведението матрица е:

${\left(𝐀𝐁\right)}^{-1}={𝐁}^{-1}{𝐀}^{-1}$

(Важно е да се отбележи, че редът на множителите не е същият). Като следствие от това, множеството от неособени n × n матрици образува група, която се бележи с Gl(n).