Обобщена обратност

В математиката, в частност – алгебрата, обобщената обратност на елемент х е елемент y , който има някои от свойствата на обратност, но не притежава всички от тях. Обобщената обратност може да бъде определена във всяка математическа структура, която включва асоциативна мултипликация, т.е. е в полугрупи. Тази статия описва обобщените обратности на матрицата $A$.

Формално дефинирано, за матрицата $A\in {ℝ}^{n\times m}$ и матрицата $A^{\mathrm{g}}\in {ℝ}^{m\times n}$, $A^{\mathrm{g}}$ е обобщена обратна на $A$, ако отговаря на условието $A{A}^{\mathrm{g}}A=A$.

Целта на изграждане на обобщена обратна матрица е да се получи матрица, която може да служи като обратна връзка в известен смисъл за по-голям брой матрици, което не важи за обратната матрица. Обобщена обратност съществува за произволна матрица, а когато матрицата има редовна обратност, то тогава тази обратност е уникалната обобщена обратност.

Мотивация

Да разгледаме линейната система

$Ax=y$

където $A$ е $n\times m$ матрица и $y\in ℛ(A)$ е колонното пространство на $A$. Ако $A$ е неособена, тогава $x=A^{-1}y$ ще бъде решение на системата. В този случай, К. Р. Рао и С. К. Митра наричат $A^{-1}$ редовна обратност на $A$. Трябва да се има предвид, че ако $A$ е неособена, то тогава

$A{A}^{-1}A=A.$

Да предположим, че $A$ е особена, или $n\ne m$. Тогава имаме нужда от подходящ кандидат $G$ от ред $m\times n$ такъв, че за всички $y\in ℛ(A)$,

$AGy=y.$

Т.е. $Gy$ е решение на линейната система $Ax=y$.

С други думи, нуждаем се от матрицата $G$ от ред $m\times n$ така, че

$AGA=A.$

По този начин можем да определим общата обратност или g-братност както следва: за дадена $n\times m$ матрица $A$, $m\times n$ матрицата $G$ се нарича обобщена обратна на $A$, ако $AGA=A.$

Видове

Следват условията на Пенроуз за определяне на различните обобщени обратности на $A\in {ℝ}^{n\times m}$ и $A^{\mathrm{g}}\in {ℝ}^{m\times n}:$

1. $A{A}^{\mathrm{g}}A=A$
2. $A^{\mathrm{g}}A{A}^{\mathrm{g}}=A^{\mathrm{g}}$
3. $(A{A}^{\mathrm{g}}{)}^{\mathrm{T}}=A{A}^{\mathrm{g}}$
4. $(A^{\mathrm{g}}A{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{g}}A,$

където ${\mathrm{T}}^{}$ е транспониране на спрегнато. Ако $A^{\mathrm{g}}$ отговаря на първото условие, то тогава тя е обобщено обратна на $A$. Ако отговаря на първите две условия, тогава тя е рефлективно обобщено обратна на $A$. Ако тя отговаря на четирите условия, то тя е псевдообратна на $A$. Псевдообратната понякога се нарича Мур-Пенроуз обратна, поради приноса на Д. З. Мур и Роджър Пенроуз. Когато $A$ е неособена, $A^{\mathrm{g}}=A^{-1}$ е уникална, но във всички други случаи има безкраен брой матрици, които отговарят на условието (1). Въпреки това, Мур-Пенроуз обратността е уникална.

Има и други видове обобщена обратност:

• Едностранна обратност (дясна или лява обратност)
  • Дясна обратност: Ако матрицата $A$ има размери $n\times m$ и $\text{rank}(A)=n$, то тогава съществува $m\times n$ матрица $A_{\mathrm{R}}^{-1}$ която се нарича дясно обратна на $A$ така, че $A{A}_{\mathrm{R}}^{-1}=I_n$, където $I_n$ е $n\times n$ единична матрица.
  • Лява обратност: Ако матрицата $A$ има размери $n\times m$ и $\text{rank}(A)=m$, то тогава съществува $m\times n$ матрица $A_{\mathrm{L}}^{-1}$, която се нарича ляво обратна на $A$ така, че $A_{\mathrm{L}}^{-1}A=I_m$, където$I_m$ е $m\times m$ единична матрица.

• Бот–Дафина обратност
  
• Дражин обратност
  

Примери

Рефлективна обобщена обратност

Нека

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],G=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{5}{3}& \frac{2}{3}& 0\\ \frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Където $\det (A)=0$, $A$ е особена и не е регулярно обратна. Въпреки това, $A$ и $G$ отговарят на условията (1) и (2), но не и на (3) и (4). Следователно, $G$ е рефлективно обобщена обратност на $A$.

Еднопосочна обратност

Нека

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right],A_{\mathrm{R}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-\frac{17}{18}& \frac{8}{18}\\ -\frac{2}{18}& \frac{2}{18}\\ \frac{13}{18}& -\frac{4}{18}\end{array}\right].$

Където $A$ не е квадратна, а $A$ няма регулярни обратности. Въпреки това, $A_{\mathrm{R}}^{-1}$ е дясно обратна на $A$. Матрицата $A$ няма лява обратност.

Изграждане

Следните характеристики са лесни за потвърждение:

1. Дясна обратност на неквадратна матрица $A$$A_{\mathrm{R}}^{-1}=A^{\mathrm{T}}{\left(A{A}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}$.
2. $A_{\mathrm{L}}^{-1}={\left(A^{\mathrm{T}}A\right)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}$.
3. Ако $A=BC$ е рангова факторизация, то тогава $G=C_{\mathrm{R}}^{-1}{B}_{\mathrm{L}}^{-1}$ е g-обратна на $A$, където $C_{\mathrm{R}}^{-1}$ е дясна обратност на $C$ и $B_{\mathrm{L}}^{-1}$ лява обратност на $B$.
4. Ako $A=P\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]Q$ за която и да е необратна матрица $P$ и $Q$, то тогава $G=Q^{-1}\left[\begin{array}{cc}{I}_r& U\\ W& V\end{array}\right]P^{-1}$ е обобщена обратност на $A$ за случайни $U,V$ и $W$.
5. Нека $A$ бъде от ранг $r$. Без загуба на обобщеност, нека 
   

$A=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ D& E\end{array}\right],$

където $B_{r\times r}$ е неособена подматрица на $A$. Тогава,

$G=\left[\begin{array}{cc}{B}^{-1}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ е g-обратна на $A$.

Приложения

Всяка обобщена обратност може да се използва, за да се определи дали система от линейни уравнения има решения и ако има, да върне всички тях. Ако някакви решения съществуват за линейната система n × m

$Ax=b$,

с вектор $x$ от неизвестни и вектор $b$ от константи, всички решения са дадени от

$x=A^{\mathrm{g}}b+[I-A^{\mathrm{g}}A]w$,

параметрично на произволен вектор $w$, където $A^{\mathrm{g}}$ е която и да било обобщена обратност на $A$. Съществуват решения тогава и само тогава, когато $A^{\mathrm{g}}b$ е решение, което е вярно тогава и само тогава, когато $A{A}^{\mathrm{g}}b=b$.

Източници

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal