Модул (теория на пръстените)

Шаблон:Без източници Шаблон:Към пояснение В теория на пръстените модул над пръстен $R$ или $R$-модул представлява удобно обобщение на понятието линейно пространство (от линейната алгебра) и Абелева група (от теория на групите). Модулите намират широка употреба в комутативната алгебра, хомологичната алгебра и теория на представянията.

Формални определения

Нека $R$ е комутативен пръстен с единица $1_R$ (елементите на $R$ наричаме скалари) и $M$ е абелева група с адитивен запис (приемаме действието в групата за събиране '+'). $M$ ще наричаме $R$-модул, ако на всеки елемент $r\in R$ и на всеки елемент $x\in M$ се съпоставя елемент $ax\in M$ (скаларно умножение), като са налице следните аксиоми $(r,s\in R;x,y\in M)$:

1. $r(x+y)=rx+ry$
2. $(r+s)x=rx+sx$
3. $(rs)x=r(sx)$
4. $1_{R}x=x$.

Лесно се забелязва, че разликата с аксиомите за линейно пространство над поле се състои във възможността скаларите да лежат в пръстен, който, в общия случай, не е поле.

Ако $R$ не е комутативен, може да се въведат ляв и десен R-модул (съответно ${}_{R}M$ и $M_R$), където скаларното умножение ще действа от ляво, съответно дясно.

Подмодул на $M$ ще наричаме всяка подгрупа $N$ на $M$, затворена относно скаларното умножение. Тъй като групата на M е абелева, то N е нормална подгрупа и са възможни конструкции като факторизация.

Анулатор на $M$ ще наричаме множеството $\text{Ann}M=\{r\in R|rM=0\}$. За разлика от линейни пространства, където $\lambda V=0$ е изпълнено единствено при $\lambda =0$ или $V=\{0\}$, тоест в ненулево пространство $\text{Ann}V=\{0\}$, то при модулите са възможни аномалии, при които ненулев скалар и ненулев вектор дават 0 при скаларно умножение. Например, в модула от остатъци по модул n над пръстена от целите числа $\mathbb{Z}$, за всеки елемент $\bar{r}\in {\mathbb{Z}}_n$ е изпълнено, че $n\cdot \bar{r}=\bar{0}$, и $\text{Ann}M=n\mathbb{Z}$.

Примери

• Всяко линейно пространство над поле е модул над това поле.
• Всяка абелева група е $\mathbb{Z}$-модул, където умножението с число n се дефинира като n-кратното събиране на елемент със себе си при n>0, като при n<0 се взима обратният елемент на този сбор.
• Всеки идеал и всеки факторпръстен, на даден пръстен $R$, е $R$-модул.
• Множеството от всички векторни полета върху гладкото многообразие $X$ образува модул над $C^{\mathrm{\infty }}(X)$ (пръстена на гладките функции действащи от $X$ върху $ℝ$).

Видове модули

• Свободен модул е директна сума $R^n=R\oplus \cdots \oplus R$ на n копия на $R$.
• Цикличен модул е модул, породен от един елемент.
• Крайнопороден модул е модул, в който всеки елемент може да се представи във вида $x=r_1{x}_1+\cdots +r_n{x}_n,x_1,\mathrm{...},x_n\in M,r_1,\mathrm{...},r_n\in R$. Един модул е крайнопороден тогава и само тогава, когато е изоморфен на фактормодул на свободния модул $R^n$, $n\in \mathbb{N}$.
• Точен модул е модул, за който $\text{Ann}M=(0)$.
• Прост модул (или неприводим модул) е ненулев модул, който няма подмодули, различни от нулевия и самия себе си.