Ковектор

Преди да дадем дефиницията за ковектор е нужно да изведем няколко важни правила относно връзката между координатни системи и трансформацията на координати при смяна на векторната база.

Трансформация между координатни системи

От информацията за вектори знаем че векторът е физически обект, представян чрез три координати в тримерното Евклидово пространство.

А(а1, а2, а3), при зададена база (е1,е2,е3).

\vec{A} = a 1 . \vec{e} 1 + a 2 . \vec{e} 2 + a 3 . \vec{e} 3

Можем да запишем горното равенство за по-просто:

A = a 1 e_{1} + a 2 e_{2} + a 3 e_{3}

(е1,е2,е3) ще наричаме базови вектори, база или базови координатни вектори. В случая не става дума за единични вектори, понеже големината на тези вектори може да е различна от единица.

Ако променим базата от вектори (е1,е2,е3) и ползваме нова база вектори (е1',е2',е3'), то координатите на вектора ще се променят съответно в А' (а1', а2', а3').

Нека да разгледаме по-подробно какво става при смяна на базата.

Нека да е зададена тримерна координатна система K с линейно независими вектори $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ търсим ново представяне спрямо различна координатна система K' представена с линейно независими вектори $({\bar{e}}_{1}, {\bar{e}}_{2}, {\bar{e}}_{3})$ . Линейната независимост между е1, е2 и е3 означава че нито един от векторите е1, е2 или е3 не може да бъде представен като линейна зависимост на другите два вектора.

Вектор А се представя в системата К чрез следните равенства:

A (a^{1}, a^{2}, a^{3})

– Тук нарочно променяме мястото на индекса да бъде отгоре – за да можем по-лесно да различаваме координатите от единичните вектори.

A = a^{1} e_{1} + a^{2} e_{2} + a^{3} e_{3} = \sum_{i = 1}^{3} a^{i} e_{i}

В системата К'

\bar{A} = {\bar{a}}^{1} {\bar{e}}_{1} + {\bar{a}}^{2} {\bar{e}}_{2} + {\bar{a}}^{3} {\bar{e}}_{3} = \sum_{i = 1}^{3} {\bar{a}}^{i} {\bar{e}}_{i}

Такова представяне може да бъде направено за произволен вектор, включително и за координатните вектори:

{\bar{e}}_{1} = S_{1}^{1} e_{1} + S_{1}^{2} e_{2} + S_{1}^{3} e_{3}

{\bar{e}}_{2} = S_{2}^{1} e_{1} + S_{2}^{2} e_{2} + S_{2}^{3} e_{3}

{\bar{e}}_{3} = S_{3}^{1} e_{1} + S_{3}^{2} e_{2} + S_{3}^{3} e_{3}

Тези формули ни дават правилото за трансформация на координатите от система К към система К'. Скаларната матрица $S_{i}^{j}$ определя как да се преизчислят всички величини в новата координатна система К', включително базовите координатни вектори. Затова тази матрица се нарича транзиционна или трансформационна матрица.

По обратния начин можем да намерим взаимовръзката от К' към К:

e_{1} = T_{1}^{1} {\bar{e}}_{1} + T_{1}^{2} {\bar{e}}_{2} + T_{1}^{3} {\bar{e}}_{3}

e_{2} = T_{2}^{1} {\bar{e}}_{1} + T_{2}^{2} {\bar{e}}_{2} + T_{2}^{3} {\bar{e}}_{3}

e_{3} = T_{3}^{1} {\bar{e}}_{1} + T_{3}^{2} {\bar{e}}_{2} + T_{3}^{3} {\bar{e}}_{3}

Матрицата $T_{i}^{j}$ ни дава обратната трансформация от К' към К. Тя е зависима от S и се нарича обратна трансформационна матрица.

Горните две формули могат да бъдат записани по-накратко съгласно означенията, въведени от Айнщайн:

${\bar{e}}_{i} = S_{i}^{1} e_{1} + S_{i}^{2} e_{2} + S_{i}^{3} e_{3} = \sum_{j = 1}^{3} S_{i}^{j} e_{j}$

$e_{i} = T_{i}^{1} {\bar{e}}_{1} + T_{i}^{2} {\bar{e}}_{2} + T_{i}^{3} {\bar{e}}_{3} = \sum_{j = 1}^{j} T_{i}^{j} {\bar{e}}_{j}$

(2.1)

 ${\bar{e}}_{i} = \sum_{j = 1}^{3} S_{i}^{j} e_{j}$ 
 $e_{i} = \sum_{j = 1}^{3} T_{i}^{j} {\bar{e}}_{j}$

Сега да разгледаме представянето на произволен вектор А(а1, а2, а3) $\vec{A} = a 1 e_{1} + a 2 e_{2} + a 3 e_{3} = \sum_{i = 1}^{3} a i e_{i}$

$e_{i} = T_{i}^{1} {\bar{e}}_{1} + T_{i}^{2} {\bar{e}}_{2} + T_{i}^{3} {\bar{e}}_{3}$

$\vec{A} = \sum_{i = 1}^{3} a i e_{i} = \sum_{i = 1}^{3} a i (T_{i}^{1} {\bar{e}}_{1} + T_{i}^{2} {\bar{e}}_{2} + T_{i}^{3} {\bar{e}}_{3}) {\bar{e}}_{j} = \sum_{i = 1}^{3} a i \sum_{j = 1}^{3} T_{i}^{j} {\bar{e}}_{j}$

$= \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} a i T_{i}^{j} {\bar{e}}_{j} = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{i = 1}^{3} T_{i}^{j} a i {\bar{e}}_{j} = \sum_{j = 1}^{3} (\sum_{i = 1}^{3} T_{i}^{j} a i) {\bar{e}}_{j}$

Полагаме: $\bar{a} j = \sum_{i = 1}^{3} T_{i}^{j} a i {\bar{e}}_{j}$

И така получаваме формулата за вектор А, изразен спрямо две различни бази:

$A = \sum_{i = 1}^{3} a i e_{i} = \sum_{j = 1}^{3} \bar{a} j {\bar{e}}_{j}$

Ще спазваме условностите, приети за удобство при запис. Индексът на координатите го качваме горе и по този начин правим ясно разграничение между базовите вектори и координатите:

$A = \sum_{i = 1}^{3} a^{i} e_{i} = \sum_{j = 1}^{3} {\bar{a}}^{j} {\bar{e}}_{j}$

Вижда се че величината А не зависи от избора на базовите вектори. Промяната на базовите вектори променя координатите, но не променя посоката и дължината на А.

В сила са следните трансформационни правила:

(2.2)

 ${\bar{a}}^{j} = \sum_{i = 1}^{3} T_{i}^{j} a^{i} {\bar{e}}_{j}$

 $a^{i} = \sum_{j = 1}^{3} S_{j}^{i} a^{j} {\bar{e}}_{j}$

-второто равенство е следствие от първото и представлява обратна трансформация от К' в К.

Матрици

$‖ \begin{matrix} {\bar{a}}^{1} \\ {\bar{a}}^{2} \\ {\bar{a}}^{3} \end{matrix} ‖ = ‖ \begin{matrix} T_{1}^{1} & T_{1}^{2} & T_{1}^{3} \\ T_{2}^{1} & T_{2}^{2} & T_{2}^{3} \\ T_{3}^{1} & T_{3}^{2} & T_{3}^{3} \end{matrix} ‖ ‖ \begin{matrix} a^{1} \\ a^{2} \\ a^{3} \end{matrix} ‖$

$‖ \begin{matrix} a^{1} \\ a^{2} \\ a^{3} \end{matrix} ‖ = ‖ \begin{matrix} S_{1}^{1} & S_{1}^{2} & S_{1}^{3} \\ S_{2}^{1} & S_{2}^{2} & S_{2}^{3} \\ S_{3}^{1} & S_{3}^{2} & S_{3}^{3} \end{matrix} ‖ ‖ \begin{matrix} {\bar{a}}^{1} \\ {\bar{a}}^{2} \\ {\bar{a}}^{3} \end{matrix} ‖$

Ако ползваме съкратен запис за матриците се получава следният резултат:

\bar{A} = T A

A = S \bar{A}

S = T^{- 1}

За сравнение връзката между базовите вектори е обратна:

‖ \begin{matrix} {\bar{e}}_{1} \\ {\bar{e}}_{2} \\ {\bar{e}}_{3} \end{matrix} ‖ = ‖ \begin{matrix} S_{1}^{1} & S_{1}^{2} & S_{1}^{3} \\ S_{2}^{1} & S_{2}^{2} & S_{2}^{3} \\ S_{3}^{1} & S_{3}^{2} & S_{3}^{3} \end{matrix} ‖ ‖ \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ‖

В съкратена матрична форма:

\bar{E} = ‖ \begin{matrix} {\bar{e}}_{1} \\ {\bar{e}}_{2} \\ {\bar{e}}_{3} \end{matrix} ‖

E = ‖ \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \end{matrix} ‖

S = ‖ \begin{matrix} S_{1}^{1} & S_{1}^{2} & S_{1}^{3} \\ S_{2}^{1} & S_{2}^{2} & S_{2}^{3} \\ S_{3}^{1} & S_{3}^{2} & S_{3}^{3} \end{matrix} ‖

\bar{E} = S E

E = T \bar{E}

Сега вече можем да дадем дефиниция:

Дефиниция

Ковекторът представлява геометрически обект, представян с тройка координати (1,2,3), за който са сила трансформационните правила:

{\bar{a}}^{j} = \sum_{i = 1}^{3} T_{i}^{j} a^{i} {\bar{e}}_{j}

a^{i} = \sum_{j = 1}^{3} S_{j}^{i} a^{j} {\bar{e}}_{j}

Ковекторът е много близък по смисъл до вектора, за да ги разграничаваме умишлено въведохме долен индекс за обозначение на векторите и горен индекс за обозначение на ковекторите. Друга разлика между вектор и ковектор се състои в следното: Можем да избираме произволна база вектори, но това не води до произволни координати на ковектора. Тройката координати на ковектора винаги се подчинява на трансформационните правила за права и обратна конверсия.

Вижте също

Източници

Английската и руската версии на Уикипедия
„Теоретическа физика“ – Л.Д.Ландау, Лифшиц

An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering Шаблон:Webarchive, released by NASA
A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov.

Ковектор

Съдържание

Трансформация между координатни системи

Матрици

Дефиниция

Вижте също

Източници

Навигация

Ковектор

Трансформация между координатни системи

Матрици

Дефиниция

Вижте също

Източници

Навигация

Търсене