Закон на Стефан – Болцман

Графика на функция на общата отделена енергия от абсолютно черно тяло $j^{\star }$, пропорционална на неговата термодинамична температура $T$. В синьо е общата енергия, според Виновото приближение, $j_W^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\sigma T^4$

Законът на Стефан – Болцман описва мощността, излъчена от абсолютно черно тяло от гледна точка на неговата температура. По-точно, законът на Стефан – Болцман гласи, че общата енергия, излъчена от единица площ на абсолютно черно тяло във всичките дължини на вълната за единица време, $j^{\star }$, е право пропорционална на четвъртата степен на термодинамичната температура T на черното тяло:

$j^{\star }=\sigma S{T}^4.$

Константата на пропорционалност σ, наречена константа на Стефан – Болцман, се извежда чрез други познати естествени константи. Стойността на константа е:

$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}=5.670373\times 10^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}},$

където k е константата на Болцман, h е константата на Планк, а c е скоростта на светлината във вакуум. Следователно, при 100 K енергийният поток е 5,67 W/m², а при 1000 K е 56 700 W/m². Енергетичната яркост (ват на квадратен метър на стерадиан) се извежда чрез

$L=\frac{j^{\star }}{\pi }=\frac{\sigma }{\pi }{T}^4.$

Тяло, което не абсорбира цялото попадащо лъчение (понякога наричано „сиво“ тяло), излъчва по-малко обща енергия, отколкото абсолютно черно тяло и се характеризира с емисивност, $\epsilon <1$:

$j^{\star }=\epsilon \sigma T^4.$

Излъчването $j^{\star }$ има измерения на поток на енергията (енергия за единица време на единица площ) и единиците в SI за измерване са джаул за секунда на квадратен метър или еквивалентното ват на квадратен метър. SI единицата за абсолютна температура T е келвин [K]. $\epsilon$ е емисивността на „сивото“ тяло. Ако то е абсолютно черно тяло, то $\epsilon =1$. В по-общия и релативистичен случай емисивността зависи от дължината на вълната, $\epsilon =\epsilon (\lambda )$.

Общата мощност, излъчена от даден обект, се намира по формулата:

$P=A{j}^{\star }=A\epsilon \sigma T^4.$

където A е площта на тялото. Частиците съразмерни с дължината на вълната, метаматериали и други наноструктури не са обект на ограниченията на оптиката на лъчите и могат да бъдат проектирани по такъв начин, че да надминават закона на Стефан – Болцман.

История

Законът е изведен от Йозеф Стефан през 1879 г. на базата на експериментални измервания, направени от Джон Тиндал. Изведен е и от Лудвиг Болцман през 1884 г. на базата на теоретични съображения, използвайки термодинамика. Болцман взема предвид определен идеален топлинен двигател със светлина като работно вещество, вместо газ. Законът е много точен единствено за абсолютно черни тела и работи като добро приближение за повечето „сиви“ тела. Стефан публикува закона в статията Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Относно връзката между топлинното излъчване и температурата) във Виенската академия на науките.

Примери

Температура на Слънцето

Чрез този закон Стефан успява да определи температурата на повърхността на Слънцето. Благодарение на данни от швейцарския физик Шарл Соре, Стефан научава, че енергийният поток от Слънцето е 29 пъти по-голям от енергийния поток на определен нагрят метал (тънка пластина). Кръгла пластина е поставена на такова разстояние от измерващото устройство, че се вижда под същия ъгъл като Слънцето. Соре преценява температурата на пластината да е приблизително от 1900 °C до 2000 °C. Стефан предполага, че 1/3 от енергийния поток на Слънцето се абсорбира от атмосферата на Земята, затова взима за правилния слънчев енергиен поток стойност, която е 3/2 пъти по-голяма от стойността на Соре, или по-точно 29 × 3/2 = 43,5.

Прецизни измервания на атмосферната абсорбция са направени едва през 1888 г. и 1904 г. Температурата, която получава Стефан е средна стойност на предните, 1950 °C и абсолютната термодинамична 2200 K. Тъй като 2,57⁴ = 43,5, от закона следва, че температурата на Слънцето е 2,57 пъти по-голяма от температурата на пластината, така че Стефан получава стойност от 5430 °C или 5700 K (съвременната стойност е 5778 K).

Температура на звездите

Температурата на звезди, различни от Слънцето, може да бъде апроксимирана, използвайки подобни начини, като излъчената енергия се счита за излъчване от абсолютно черно тяло. Така:

$L=4\pi R^2\sigma {T_e}^4$

където L е светимостта, σ е константата на Стефан – Болцман, R е звездният радиус, а T е ефективната температура. Същата формула може да бъде използвана, за да се изчисли приблизителния радиус на звезда от главна последователност по отношение на Слънцето:

$\frac{R}{R_{\odot }}\approx {\left(\frac{T_{\odot }}{T}\right)}^2\cdot \sqrt{\frac{L}{L_{\odot }}}$

където R_☉ е слънчевият радиус, L_☉ е слънчевата светимост и така нататък.

Чрез закона на Стефан – Болцман астрономите могат лесно да правят предположения за радиусите на звезди. Законът, също така, се среща в термодинамиката на черните дупки в така нареченото излъчване на Хокинг.

Ефективна температура на Земята

По подобен начин може да се изчисли ефективната температура на Земята T_⊕ като се приравни приетата енергия от Слънцето и енергията, излъчена от Земята, под приближение на абсолютно черно тяло. Светимостта на Слънцето, L_⊙, се извежда от:

$L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^2\sigma T_{\odot }^4$

На Земята тази енергия преминава през сфера с радиус a₀, разстоянието между Земята и Слънцето, а облъчеността (получена мощност на единица площ) се извежда от:

$E_{\oplus }=\frac{L_{\odot }}{4\pi a_0^2}$

Земята има радиус R_⊕ и следователно има напречно сечение $\pi R_{\oplus }^2$. Лъчистият поток (т.е. слънчевата мощност), абсорбиран от Земята се извежда от:

${\mathrm{\Phi }}_{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^2\times E_{\oplus }$

Считайки, че обмяната е в стабилно състояние, излъченият поток от Земята трябва да е равен на абсорбирания поток, следователно:

$\begin{array}{cc}4\pi R_{\oplus }^2\sigma T_{\oplus }^4& =\pi R_{\oplus }^2\times E_{\oplus }\\ & =\pi R_{\oplus }^2\times \frac{4\pi R_{\odot }^2\sigma T_{\odot }^4}{4\pi a_0^2}\\ \end{array}$

T_⊕ тогава може да бъде намерена:

$\begin{array}{cc}{T}_{\oplus }^4& =\frac{R_{\odot }^2{T}_{\odot }^4}{4a_0^2}\\ T_{\oplus }& =T_{\odot }\times \sqrt{\frac{R_{\odot }}{2a_0}}\\ & =5780\mathrm{K}\times \sqrt{\frac{696\times 10^6\mathrm{m}}{2\times 149.598\times 10^9\mathrm{m}}}\\ & \approx 279\mathrm{K}\end{array}$

където T_⊙ е температурата на Слънцето, R_⊙ е радиусът на Слънцето, а a₀ е разстоянието между Земята и Слънцето. Това дава ефективна температура от 6 °C на повърхността на Земята, считайки, че тя идеално абсорбира цялото лъчение, попадащо върху нея и няма атмосфера.

Земята има албедо от 0,3, което означава, че 30% от слънчевите лъчи, попадащи върху Земята, се разсейват обратно в космоса, без да се абсорбират. Ефектът на албедото върху температурата може да бъде приближен, като се счита, че абсорбираната енергия се умножава по 0,7, а планетата излъчва като абсолютно черно тяло. Това приближение намалява температурата с коефициент 0,77^1/4, което дава 255 K или 18 °C.

Интересен въпрос е каква би била температурата на повърхността на Земята, ако тя беше абсолютно черно тяло и считайки, че тя достига равновесие с падащата слънчевата светлина. Това зависи от ъгъла на падане на слънчевите лъчи и от това през колко въздух са минали те. Когато Слънцето е в зенит и повърхността е хоризонтална, облъчването може да достигне 1120 W/m². Тогава законът на Стефан – Болцман дава температура от

$T={\left(\frac{1120{\text{ W/m}}^2}{\sigma }\right)}^{1/4}\approx 375\text{ K}$

или 102 °C. Над атмосферата резултатът е дори по-висок: 394 K.