Генерация на втора хармонична

Генерация на втора хармонична (ГВХ) или наричана още удвояване на честотата е нелинейно оптичен процес, при който фотоните взаимодействащи с нелинейната среда се преобразуват във фотони с два пъти по-голяма енергия. На честотен език това означава, че електромагнитно лъчение с честота

$\omega$

се преобразува в лъчение с честота 2

$\omega$

. Ако предпочитаме да ползваме дължина на вълната за описание на този процес то следва, че при генерацията на втора хармонична, лъчение с дължина на вълната

$\lambda$

се преобразува в лъчение с двойно по-малка дължина на вълната

$\lambda$

/2. Английският термин за този нелинейно оптичен процесс е Second harmonic generation (SHG).

Описание на генерацията на втора хармонична

Да разгледаме процеса на генерация на втора хармонична, при който част от основното лъчение се преобразува в лъчение с втора хармонична честота. Общото поле E в нелинейната среда е сума от двете полета: полето на основната (входна) честота ${\omega }_1$

$E_1(t,z)=\frac{1}{2}[A_1{e}^{i({\omega }_{1}t-k_{1}z)}+A_1^{*}{e}^{-i({\omega }_{1}t-k_{1}z)}]$,

и полето на втората хармонична с честота ${\omega }_2$=2${\omega }_1$

$E_2(t,z)=\frac{1}{2}[A_2{e}^{i({\omega }_{2}t-k_{2}z)}+A_2^{*}{e}^{-i({\omega }_{2}t-k_{2}z)}]$,

като в дадения случай сме пренебрегнали наличието на други полета в средата смятайки ги за слаби.

поляризацията на средата P трепти на много честоти ${\omega }_1$, 2${\omega }_1$, 3${\omega }_1$, ${\omega }_2$, 2${\omega }_2$, ${\omega }_1+{\omega }_2$ и т.н., но ние ще търсим само тази компонента на поляризацията, която трепти на честотата на втората хармонична. Тя има вида:

$P_{NL}(2{\omega }_1)={\epsilon }_0{\chi }^{(2)}(E_1+E_2{)}^2=\frac{{\epsilon }_0}{4}{\chi }^{(2)}{A}_1^2{e}^{i(2{\omega }_{1}t-2k_{1}z)}$,

където ${\chi }^{(2)}$ e квадратичната нелинейна възприемчивост, която в най-общ вид е тензор от трети ранг. Видът на този тензор (ненулевите компоненти и съотношенията между тях) зависи от точковата група на симетрия на нелинейната среда.

Вълновото уравнение на честотата 2${\omega }_1$ в приближение на бавно изменяща се амплитуда на плоски вълни и при пренебрегване на евентуални загуби е:

$i{k}_2\frac{d{A}_2}{dz}{e}^{i({\omega }_{2}t-k_{2}z)}=\frac{(2{\omega }_1{)}^2}{{\epsilon }_0{c}^2}P(2{\omega }_1)$.

Като заместим израза за поляризацията $P_{NL}(2{\omega }_1)$ получаваме

$\frac{d{A}_2}{dz}=-i\frac{{\omega }_1{d}_{eff}}{c{n}_2}{A}_1^2{e}^{i\mathrm{\Delta }kz}$,

където $\mathrm{\Delta }k=k_2-2k_1$, a

$d_{eff}=\frac{1}{2}⟨e_2{\chi }^{(2)}{e}_1{e}_1⟩$

е конволюция на тензора ${\chi }^{(2)}$ с поляризационните вектори на трите вълни (двете основни и втората хармонична). T. e. $d_{eff}$ е константа зависеща, както от посоката на разпространение на основната вълна и вълната на втората хармонична, така и от вида на вълните – дали са обикновени или необикновени (за подробен извод вижте F. Zernike, J.E. Midvinter, Applied Nonlinear Optics, 1973).

При метода на квазифазов синхронизъм (QPM) често и двете вълни основната и втората хармонична са поляризирани по оста Z (т.е те са необикновени) и тогава

$d_{eff}=\frac{2}{\pi m}{d}_{zzz}=\frac{2}{\pi m}{d}_{33}$,

където $m$ е порядъкът на квазифазов синхронизъм. За предпочитане е да се работи с $m=1$, когато ефективността на преобразуване във втора хармонична ще е най-голяма.

При ниски коефициенти на преобразуване, $A_2(z)<<A_1(z)$, амплитидата на основната вълна $A_1(z)$ e практически константа по цялата дължина на взаимодействие, $L$. Тогава при начални условия $A_2(z=0)=0$ се получава:

$A_2(L)=-\frac{i{\omega }_1{d}_{eff}}{n_{2\omega }c}{A}_1^2\underset{0}{\overset{L}{\int }}{e}^{i\mathrm{\Delta }kz}=-\frac{i{\omega }_1{d}_{eff}}{n_{2\omega }c}{A}_1^{2}L\frac{\sin \mathrm{\Delta }kL/2}{\mathrm{\Delta }kL/2}{e}^{i\mathrm{\Delta }kL/2}$.

Или изразено чрез интензитетите на двете вълни, $I=\frac{n{ϵ}_{0}c}{2}|A{|}^2$ стигаме до

$I(2\omega ,L)=\frac{2{\omega }^2{d}_{eff}^2}{n_{2\omega }{n}_{\omega }^2{c}^3{ϵ}_0}{\left(\frac{\sin (\mathrm{\Delta }kL/2)}{\mathrm{\Delta }kL/2}\right)}^2{I}^2(\omega )L^2$.

Интензитетът на втората хармонична става максимален, когато имаме фазов синхронизъм (ФС), а именно когато $\mathrm{\Delta }k=0$. Ако процесът не е синхронен (без фазов синхронизъм) поляризацията на удвоената честота $2{\omega }_1$ е ту във фаза, ту в противофаза спрямо генерираната втора хармонична $A_2(z)$ и ефективността осцилира като $\sin {(\mathrm{\Delta }kL/2)}^2$. Кохерентната дължина на тези осцилации се дефинира по този начин $L_{coh}=\pi /\mathrm{\Delta }k$. Ако не се вземат специални мерки да се получи фазов синхронизъм, $L_{coh}$ e от порядъка на няколко микрометра, ефективността е много ниска и дължината на кристала не играе никакво значение в този случай. За добра ефективност на процеса на ГВХ е необходимо постигането на фазов синхронизъм. Известните методи за получаване на фазов синхронизъм са методът на двулъчепречупването за ФС и методът на квазифазов синхронизъм.

За по задълбочено запознаване

Книги:

• Robert W. Boyd, Nonlinear optics, Chapter 2, Second edition, Academic press, (2003).

• F. Zernike, J.E. Midvinter, Applied Nonlinear Optics, New-York, John Wiley, (1973).

• Генерация на втора хармонична на лазерно лъчение в „Практикум по квантова електроника и лазерна техника“. Автори: Г. Георгиев, С. Салтиел, 3-то издание. Издател: ИК „Св. Климент Охридски“, 2004 г. ISBN 954-07-1971-2

Други източници:

• Шаблон:Cite webШаблон:Dead link

• Шаблон:Cite web