Версиера

Конструкция на версиера (къдрица на Анези)

Версиера в математиката е алгебрична крива от трета степен. Изследвана е от италианската математичка Мария Гаетана Анези, и поради това наречена на нейно име „къдрица на Анези“.

Кривата се строи по следния начин: Фиксирана е окръжност и произволна точка О върху нея, както и нейната диаметрално противоположна М. За произволна друга точка от окръжността А е прекарана секущата права ОА, пресичаща в точка N допирателната, прекарана към окръжността в точка М. Успоредната на ОМ права през N и перпендикулярната на ОМ права през А се пресичат в точка Р. При изменението на точка А, описваната траектория от точка Р представлява версиерата.

Кривата има асимптота в лицето на допирателната към окръжността в точка О.

Уравнения

Да допуснем, че точка О е началото на координатната система, а М лежи на положителната част от ординатата. Нека радиусът на окръжността е $a$.

Тогава кривата има уравнение в декартови координати $y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$.

Параметрично изразено, ако $\theta$ е ъгълът между OM и OA (мерен по часовниковата стрелка), кривата се определя чрез уравненията

$x=2a\tan \theta ,y=2a{\cos }^2\theta .$

Правата $y=0$ e aсимптота на къдрицата.

Областта между къдрицата и нейната асимптота има площ 4 пъти площта на фиксираната окръжност, т.е. $4\pi a^2$. При ротация на кривата около асимптотата се получава тяло с обем $4{\pi }^2{a}^3$ Центърът на тежестта на областта лежи в точката с координати $(0,\frac{a}{2})$.

Външни препратки

• Страница за версиерата на сайта Mathworld Wolfram