Стерадиан

Конусът с образуваща r и основа r² изрязва от сферата един стерадиан

Стерадиа́н е единица от международната система единици за измерване на пространствен ъгъл. Означава се със символа sr. Името стерадиан произлиза от гръцкото стереос – пространствен, обемен и латинското радиус – лъч. Стерадианът може да се нарече също и квадратен радиан.

Дефиниция

• Стерадианът е равен на пространствен ъгъл с връх в центъра на сфера, изрязващ на повърхността на сферата площ, равна на площта на квадрат със страна, равна на радиуса на сферата. Цялата сфера е $4\pi$ стерадиана.
• Ако такъв пространствен ъгъл има вид на кръгов конус, то ъгълът при върха му ще бъде 65°32′28″.

• Стерадианът, както и радианът, е безразмерна величина, тъй като пространственият ъгъл се измерва с отношението на площта на изрязаната от него част от сферата към квадрата на радиуса на сферата:

$\mathrm{\Omega }=\frac{m^2}{m^2}=1sr$.

Независимо от безразмерността му, той се означава със символа „sr“, за да се покаже естеството на величината.

Така например интензитетът на излъчване се измерва във ватове на стерадиан:

$I(\theta ,\phi )=\frac{d\mathrm{\Phi }}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{W}{sr}$.

Сектор от червения конус (1) и синята сферична шапка (2), вписани в сфера

• Ако лицето A е равно на r² и съответства на площта на сферичната шапка ($A=2\pi rh$), тогава е изпълнено равенството $\frac{h}{r}=\frac{1}{2\pi }$. Тогава пространственият ъгъл на обикновения конус със сключващ ъгъл $\theta$ е равен на:

$\begin{array}{cc}\theta & =\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)\\ & =\arccos (1-\frac{h}{r})\\ & =\arccos (1-\frac{1}{2\pi })\approx 0,572\text{rad}\approx 32,77^{\circ }\end{array}$

• Поради факта че повърхността на сферата е 4πr², дефиницията за стерадиан косвено определя, че в една сфера могат да се впишат точно $4\pi \text{sr}$ или това е $\approx 12,56637$ стерадиана.
• По силата на същото разсъждение максималният пространствен ъгъл, който може да се заключи, е $=4\pi \text{sr}$.

• Един стерадиан също се равнява на сферичната повърхност на полигон, имащ ъглов ексцес от 1 радиан до 1/(4π) от цялата сфера или равняващ се на (180/π)² или 3282,80635 квадратни градуси.

До 1995 г. стерадианът беше допълнителна SI единица, но днес е прекатегоризиран и се разглежда като производна единица.

Аналогия с радианите

В двуизмерното пространство ъгълът, изразен в радиани, се отнася към дължината на срещулежащата му дъга по следния начин:

$\theta =\frac{s}{r}$

където

s е дължината на дъгата и

r е радиусът на окръжността.

В триизмерното пространство пространственият ъгъл, изразен в стерадиани, се отнася към повърхността, която отрязва от сферата:

$\mathrm{\Omega }=\frac{S}{r^2}$

където

S е лицето на повърхността и

r е радиусът на сферата.