Ротация (диференциален оператор)

Ротàция, завѝхряне или рòтор във векторния анализ е векторен диференциален оператор над векторно поле.

Обозначава се по няколко начина:

• $\mathrm{rot}$ (най-разпространено в рускоезични източници, а също и в немския, откъдето е произлязло наименованието.
• $\mathrm{curl}$ (в англоезичната литература, предложено е от Джеймс Кларк Максуел.
• $\mathrm{\nabla }\times$ – диференциален оператор набла, векторно умножен по векторно поле $𝐀$. Резултатът от действието на оператора „ротация“ върху конкретно векторно поле $𝐀$ се нарича „ротация на полето $𝐀$“ или просто „ротация от $𝐀$“ и представлява ново векторно поле $\mathrm{\nabla }\times 𝐀$.

$\mathrm{rot}𝐀\equiv \mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Определяне на посоката на вектора на ротацията (извивката). Свитите 4 пръста на дясната ръка сочат посоката на въртене $\hat{\omega }$ на векторното поле $A$, а палецът показва посока на вектора на извивката $\hat{n}=\mathrm{rot}𝐀$.

Ротацията представлява безкрайно малко въртене на векторно поле в триизмерното евклидово пространство. Във всяка точка на векторното поле извивката около точката се изразява като вектор, наречен вектор на извивката. Свойствата (дължина и посока) на този вектор характеризират въртенето в тази точка.

Посоката на завихрянето е оста на въртене, която се определя от правилото на дясната ръка, а големината на завихрянето е количеството на въртене. Ако векторното поле представлява скоростта на потока на движещ се ротор, тогава завихрянето е плътността на циркулационната площ на ротора. Векторно поле с нулево извиване се нарича иротационно векторно поле. Ротацията е диференциална форма на вектор. Противоположността на фундаменталната теорема на смятането е теоремата на Стокс, която свързва повърхностния интеграл на завихрянето на векторно поле с криволинейния интеграл на това векторно поле около гранична крива.

За разлика от градиента и дивергенцията, ротацията не просто се обобщава към други измерения; възможно е известно обобщение, но само в три измерения, където геометрично дефинираното векторно поле на ротацията все още е векторно поле. Това явление е подобно на триизмерното кръстосано произведение и тази връзка е отразена в символа на завихрянето $\mathrm{\nabla }\times$.

Името „завихряне“ ($\mathrm{curl}$) за ротация е предложено за първи път от Максуел през 1871 г. , но концепцията очевидно е използвана за първи път във формулирането на теорията на оптичното поле на Джеймс МакКълах през 1839 г.

Компонентите на вектора Шаблон:Math на разстояние Шаблон:Math, нормалата $\hat{n}$ и допирателната към затворената крива Шаблон:Math в равнината и векторната площ Шаблон:Math, затворена от тази крива.

Определение

За да се дефинира завихрянето (ротацията) на векторно поле, първо трябва да се въведе понятието циркулация (или вихър). Дадено е векторно поле $𝐀$ в триизмерно пространство и проста затворена насочена крива $C$, циркулацията на $𝐀$ по кривата $C$ е криволинеен интеграл от $𝐀$ по затворения път $C$:

${\mathrm{Circ}}_{𝐀}(C)={\oint }_C𝐀\cdot \mathrm{d}𝒍$ ,

където $\mathrm{d}𝒍$ е линеен елемент на кривата $C$ по допирателната към нея, а положителната ѝ посока е определена така, че площта, оградена от затворената крива $C$ е от лявата му страна. Например, ако има водовъртеж в посока обратна на часовниковата стрелка в реката на брега на реката, тогава в обхвата на водовъртежа водният поток се върти около центъра на водовъртежа, така че скоростта на водата $𝒗$ следва затворена крива около вихъра обратно на часовниковата стрелка. Интегралът трябва да е по-голям от нула, т.е. циркулацията е по-голяма от нула. Това показва, че полето на скоростта на водния поток във вихъра се върти в кръгове в обхвата на вихъра.

Циркулацията, подобно на потока, е важен параметър за описание на векторно поле. Циркулацията в дадена област не е равна на нула, което означава, че векторното поле в тази област проявява характеристиката да се върти около определена точка или определена област. Ротацията е начин да се опише това свойство локално. За да се опише циркулацията на векторно поле $𝐀$ близо до точка, се избира малък повърхностен елемент $\mathrm{\Delta }S$, включващ тази точка и се разглежда циркулацията на векторното поле $𝐀$ по дължината на граничната крива $C$. Когато повърхностният елемент $\mathrm{\Delta }S$ се свие и площта $\left|\mathrm{\Delta }S\right|$ клони към нула, векторното поле $𝐀$ е по протежение на пръстена и повърхностния елемент на $C$. Граничната стойност на съотношението на циркулацията на векторното поле $𝐀$ по контура $C$ към площта, заградена от него на панела $\mathrm{\Delta }S$ е

$\underset{\mathrm{\Delta }S\to 0}{\lim }\frac{1}{\left|\mathrm{\Delta }S\right|}{\oint }_C𝐀\cdot \mathrm{d}𝒍$ .

Нарича се плътност на циркулационната площ, повърхностна плътност на циркулация или сила на циркулация на векторното поле $𝐀$. Очевидно, тъй като посоката [Забележка 2], избрана от повърхностния елемент $\mathrm{\Delta }S$ е различна, получената плътност на циркулационната площ също се изменя. За да се покаже степента на въртене на векторното поле в близост до точка, трябва да се покаже неговата максимална възможна стойност и посоката, избрана от съответния сърфел. Завихрянето на векторно поле е вектор. Размерът на неговата проекция в една посока представлява размерът на повърхностната плътност на пръстена в тази посока. Тоест ротацията на $𝐀$ в една точка се записва като $𝐫𝐨𝐭𝐀(x)$ или $𝐜𝐮𝐫𝐥𝐀(x)$:

$𝐫𝐨𝐭𝐀(x)\cdot 𝐧=\underset{\mathrm{\Delta }{S}_{𝐧}\to 0}{\lim }\frac{1}{\left|\mathrm{\Delta }{S}_{𝐧}\right|}{\oint }_{C_{𝐧}}𝐀\cdot \mathrm{d}𝒍$ .

Тук $\mathrm{\Delta }{S}_{𝐧}$ се отнася до повърхностния елемент, чийто нормален вектор е единичният вектор $𝐧$ и има неговата посока, а $C_{𝐧}$ е граничната крива на елемента. Ако се представи от оператора набла $\mathrm{\nabla }$, ротацията на векторното поле $𝐀$ се записва $\mathrm{rot}𝐀=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$. Може да се види от дефиницията, че ротацията е свойство на интензитет на векторното поле, точно като плътност, концентрация и температура, и съответното му свойство на разширение е векторното поле по обиколката по затворена крива, така че извивката е повърхностната плътност на циркулацията. Ако извивката навсякъде във векторно поле е нула, полето се нарича иротационно поле или консервативно поле.

Правоъгълна координатна система

Нека в триизмерната правоъгълна (декартова) координатна система $xyz$ векторното поле $𝐀$ е

$𝐀(x,y,z)=A_x(x,y,z)𝐢+A_y(x,y,z)𝐣+A_z(x,y,z)𝐤$，

където $𝐢,𝐣,𝐤$ са единични вектори съответно в посоките на òсите $x$,$y$, $z$ и компонентите на полето $A_x,A_y,A_z$ имат непрекъснати частни производни от първи ред, тогава проекциите върху всяка координатна ос са:

$\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}$.

Векторът на ротацията се нарича още кривина на векторното поле $𝐀$ и се записва в основната форма

$𝐫𝐨𝐭𝐀=\mathrm{\nabla }\times 𝐀=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z})𝐢+(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x})𝐣+(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})𝐤$

Изразът за ротацията може също да бъде изразен в детерминантна нотация:

$𝐫𝐨𝐭𝐀=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ A_x& A_y& A_z\end{array}\right|$

Трябва да се отбележи, че нотацията на детерминантата тук има само формално значение, тъй като коефициентите в реалната детерминанта трябва да бъдат стойности вместо векторите $𝐢,𝐣,𝐤$. Този метод на представяне е удобен само за запаметяване на израза за ротацията в декартовата координатна система.

Цилиндрична координатна система

В цилиндричната координатна система позицията на обекта се определя от две линейни $(z,\rho )$ и една ъглова $(\phi )$ координати: напречните са $\rho ,\phi$, а надлъжната е $z$. Те определят неговите единични вектори: напречен радиален ${𝒆}_{\rho }$, напречен азимутален ${𝒆}_{\phi }$ и надлъжен ${𝒆}_z$. Тогава векторът на полето $𝐀$ има компоненти $A_{\rho },A_{\phi },A_z$ и може да се изрази като:

$𝐀=A_{\rho }(\rho ,\phi ,z){𝒆}_{\rho }+A_{\phi }(\rho ,\phi ,z){𝒆}_{\phi }+A_z(\rho ,\phi ,z){𝒆}_z$ ,

а ротацията (извивката) на векторното поле е

$𝐫𝐨𝐭𝐀=(\frac{1}{\rho }\frac{\partial A_z}{\partial \phi }-\frac{\partial A_{\phi }}{\partial z}){𝒆}_{\rho }+(\frac{\partial A_{\rho }}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial \rho }){𝒆}_{\phi }+\frac{1}{\rho }(\frac{\partial (\rho A_{\phi })}{\partial \rho }-\frac{\partial A_{\rho }}{\partial \phi }){𝒆}_z$ .

Сферична координатна система

В сферичната координатна система позицията на обекта се определя от една линейна $(r)$ и две ъглови координати (азимут $\phi$ и ъгъл на място $\theta$). Те определят неговите единични вектори: ${𝒆}_r$, ${𝒆}_{\phi }$ и ${𝒆}_{\theta }$. Векторът на полето $𝐀$ има компоненти $A_r,A_{\phi },A_{\theta }$ и може да се изрази като:

$𝐀=A_r(r,\phi ,\theta ){𝒆}_r+A_{\phi }(r,\phi ,\theta ){𝒆}_{\phi }+A_{\theta }(r,\phi ,\theta ){𝒆}_{\theta }$ .

Аналогично ротацията на векторното поле се определя от израза

$𝐫𝐨𝐭𝐀=\frac{1}{r\sin \theta }(\frac{\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }-\frac{\partial A_{\theta }}{\partial \phi }){𝒆}_r+\frac{1}{r}(\frac{\partial (r{A}_{\theta })}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial \theta }){𝒆}_{\phi }+\frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial A_r}{\partial \phi }-\frac{\partial (r{A}_{\phi })}{\partial r}){𝒆}_{\theta }.$